2: Логические основы алгебры логики кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое алгебра логики, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое алгебра логики , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровые устройства. Микропроцессоры и микроконтроллеры. принципы работы ЭВМ.

В лекции дается понятие булевой алгебры, описаны задачи анализа и синтеза. Дается описание элементарных функций одной и двух переменных. Представлены основные эквивалентности.

алгебра логики

Кроме обычной алгебры существует специальная, основы которой были заложены английским математиком XIX века Дж. Булем. Этаалгебра занимается так называемым исчислением высказываний.

Ее особенностью является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.

При этом сама алгебра выступает в качестве модели устройства. Это означает, что работа произвольного устройства указанного типа может быть лишь в каком-то отношении описана с помощью построений этой алгебры. Действительное реальное устройство физически работает не так, как это описывает алгебра логики. Однако применение положений этой теории позволяет сделать ряд полезных в практическом отношении обобщений.

Рассмотрим некоторую схему и представим ее в виде так называемого "черного" ящика.

Будем считать, что внутреннее содержимое ящика неизвестно.

X1, X2, X3 – входные сигналы, F – выходной сигнал.

Считаем также, что схема А – элементарная, т.е. нет другой схемы Б, меньшей, чем А, которая бы содержалась в А.

Построим абстрактное устройство из элементарных устройств, типа А, Б, В и т.д. Очевидно, более сложное устройство можно построить из простых путей:

1. последовательного соединения элементов;
2. параллельного соединения;
3. перестановки входов элементов.

Тогда роль Y1 для второго элемента Б будет играть:

Y1=FА(X1,X2,X3)
Y2=FБ(X1,X2)
F=F(Y1,Y2)=F(FА(X1,X2,X3),FБ(X1,X2))

Параллельное соединение элементов не меняет функции, поэтому, с точки зрения логики, этот тип соединения не используется. Физически иногда все же применяют параллельное соединение элементов, но в основном для того, чтобы, например, усилить сигнал.

В связи с этим, параллельное соединение элементов в алгебре логики не рассматривается.

Функция, которую выполняет элемент, вообще говоря, зависит от переменных, которые подаются на вход.

Поэтому перестановка аргументов влияет на характер функции.

Таким образом, произвольные, сколь угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема:

1. последовательное соединение элементов;
2. перестановка входов элементов.

Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют:

1. принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций );
2. подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена одних аргументов функции другими).

Итак, физическая задача построения и анализа работы сложного устройства заменяется математической задачей синтеза и анализасоответствующих функций алгебры логики.

Элементарные функции алгебры логики

Существует несколько синонимов по отношению к функциям алгебры логики:

1. функции алгебры логики (ФАЛ);
2. переключательные функции ;
3. булевские функции ;
4. двоичные функции.

По мере необходимости будем пользоваться всеми этими синонимами.

Рассмотрим некоторый набор аргументов:

и будем считать, что каждый из аргументов принимает только одно из двух возможных значений, независимо от других

Чему равно число различных наборов?

Xi = {0, 1}

Поставим каждому набору в соответствие некоторое двоичное число:

X1,X2,...........Xn
0,  0,...........,0    нулевой набор
0,  0,...........,1    первый набор
0,  0,..........1,0    второй набор
...................
1,  1,...........,1    (2n-1)-ый набор

Очевидно, что количество различных X1,X2,...........Xn n -разрядных чисел в позиционной двоичной системе есть 2n.

Допустим, что некоторая функция F(X1,X2,....Xn) задана на этих наборах и на каждом из них она принимает либо ' 0 '-ое, либо ' 1 '-ое значение.

Такую функцию называют функцией алгебры логики или переключательной функцией.

Чему равно число различных переключательных функций ' n ' аргументов?

Т.к. функция на каждом наборе может принять значение ' 0 ' или ' 1 ', а всего различных наборов 2n, то общее число различныхфункций ' n ' аргументов есть: 2^2n.

По сравнению с аналитической функцией непрерывного аргумента даже для одного аргумента существует множество различных функций.

Различные устройства ЭВМ содержат десятки и сотни переменных ( аргументов ), поэтому понятно, что число различных устройств, отличающихся друг от друга, практически бесконечно.

Итак, нужно научиться строить эти сложные функции (а стало быть, и устройства), а также анализировать их.

Таким образом, вначале необходимо изучить эти элементарные функции, чтобы на их основе строить более сложные.

ФАЛ одного аргумента

Чтобы задать ФАЛ, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов.

Будем у функции ставить индекс, эквивалентный набору ее значений для соответствующих значений аргумента, начиная с0,0,....,n,..... Об этом говорит сайт https://intellect.icu . и т.д. в порядке возрастания.

Эти функции можно реализовать на 4-х элементах, каждый из которых имеет максимум один вход. Таким образом, принципом подстановкиаргументов для построения более сложных функций нельзя воспользоваться.

Необходимо рассмотреть более сложные функции, т.е. ФАЛ 2х аргументов.

Дадим такие определения:

1. ФАЛ, принимающие одинаковые значения на всех наборах аргументов, называются равными.
2. ФАЛ существенно зависит от аргумента Хi, если

В противном случае она зависит не существенно, а соответствующий аргумент наз. фиктивным.

Например:

Видно, что Х3 – фиктивный аргумент. Это показывает, что в функцию можно ввести любое число фиктивных аргументов, от которых она существенно не зависит. Этот прием в дальнейшем потребуется для выполнения ряда преобразований.

Все ФАЛ от 2-х аргументов. Сведем их в единую таблицу 2.1.

f(X1,X2)=0

f(X1,X2)= X1

f(X1,X2)= X2

f(X1, X2)=¬X2
f(X1, X2)=X2

f(X1, X2)= X2 -> X1

f(X1, X2)=¬X1
f(X1, X2) = X1

f(X1, X2)= X1 -> X2

f(X1, X2)= X1|X2

f(X1, X2)=1

Эти функции введены формально. Однако им можно придавать определенный "логический" смысл. Алгебра логики часто называется исчислением высказываний.

При этом под высказываниями понимается всякое предложение, относительно которого можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Например:

В=<один плюс один - два>

есть истинное высказывание.

Рассмотрим, какое смысловое содержание можно вложить в некоторые сложные высказывания на примере ФАЛ 2-х аргументов.

Инверсия

Читается НЕ Х или Х с чертой, отрицание Х.

Возьмем, например, такое высказывание: А=<Собака - это птица>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <собака - это птица>.

Из простых высказываний можно строить более сложные, применяя так называемые связи.

Логические связи – это ФАЛ, аргументами которых являются простые высказывания.

Конъюнкция

Возьмем 2 высказывания:

А=<Молоко – это жидкость>
В=<белый это светый цвет>

тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение ' 1 ', а ложному - ' 0 ', то сложное высказывание можно назвать произведением.

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Читается X1 ИЛИ X2: Некоторое отличие от смысла союза "или", принятого в русском языке:

в данном случае этот союз употребляется в смысле объединения, а не разъединения.

Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

А=<у котов есть крылья>
B=<вода- сухая>
А~В равнозначны.

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X1 – истинно, а X2 – ложно.

Читается: если X1, то X2. При этом X1 – посылка, X2 – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к

. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным:

<если у котов – есть крылья>,
то < у круга есть углы>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

x v x = 1

– постоянно истинное высказывание.

- (переместительный) коммуникативный закон.

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

правило приведения подобных членов:

- постоянно ложное высказывание

- постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2 по модулю два

– при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1	Х2		X1 & X2
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

Операция поглощения:

или в общем виде

Операция полного склеивания:

Операция неполного склеивания:

Закон поглощения: K1 K1K2= K1.

Закон склеивания: x K x K = K.

Закон неполного склеивания: x K x K = x K x K K.

Закон обобщенного склеивания: x K1 x K2= x K1 x K2 K1K2.

Очевидно, что закон неполного склеивания следует из закона обобщенного склеивания (при K1=K2=K), а закон склеивания – из закона неполного склеивания (если в последнем выполнить поглощения конъюнкций).

Переведем эти законы на язык интервалов, используя интервалы и представляющие их троичные векторы как синонимы.

Закон поглощения говорит о том, что если объединение двух интервалов I и I' совпадает с I, то интервал I' содержится в интервале I (поглощается им). Значит, поглощаемый вектор должен получаться из поглощающего заменой некоторых его внутренних компонент ( –) на внешние (0 или 1).

сведем основные логические операции в таблицу и покажем их эквивалентную интрерпритацию на диаграммах Эйера- Вена

Выводы из данной статьи про алгебра логики указывают на необходимость использования современных методов для оптимизации любых систем. Надеюсь, что теперь ты понял что такое алгебра логики и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровые устройства. Микропроцессоры и микроконтроллеры. принципы работы ЭВМ