Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про метод статистического моделирования на эвм, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое метод статистического моделирования на эвм , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория надёжности.

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Сущность метода статистического моделирования. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных

входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

1) для изучения стохастических систем;

2) для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Пример детерминированной задачи – задача вычисления одномерного или многомерного интеграла методом статистических испытаний.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.

1. Неравенство Чебышева.

Для неотрицательной функции случайной величины и любого К> 0 выполняется неравенство

В частности, если и (где – среднее арифметическое; — среднеквадратическое отклонение), то

.

2. Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к р, т. е. при любом

,

где m — число положительных исходов испытания.

3. Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i-м испытании равна , то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к среднему из вероятностей , т. е. при любом

.

4. Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения ,…,случайной величины , то при среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а, т. е. при любом

.

5. Обобщенная теорема Чебышева.Если ,…,— независимые случайные величины с математическими ожиданиями ,…,и дисперсиями ,…,, ограниченными сверху одним и тем же числом, то при среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их

математических ожидании:

(*)

6. Теорема Маркова. Выражение (*) справедливо и для зависимых случайных величин ,…,, если только

.

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

7. Центральная предельная теорема. Если ,…,— независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание а и дисперсию , то при закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному:

.

Здесь интеграл вероятностей

.

8.Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие Апоявляется с вероятностью р, то

где m — число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

6.1. Сущность, достоинства и недостатки метода моделирования

Идея метода моделирования, в основу которого положен ме­тод статистических испытаний (метод Монте-Карло), заклю­чается в том, что показатели качества функционирования исследуемого процесса, сложным образом зависящие от большого числа случайных факторов, вычисляют не по фор­мулам (часто эти формулы получить невозможно), а с по­мощью так называемого розыгрыша.

При этом строится вероятностная модель исследуемого процесса функционирования АСУ и реализуется случайным образом с помощью ЭВМ. Полученные результаты являют­ся приближенным решением задачи.

При построении модели (разработка моделирующего ал­горитма) сложный стохастический процесс рассматривается как последовательность конечного числа взаимосвязанных элементарных стохастических актов. Реализация модели на ЭВМ (решение задачи) представляет собой последова­тельное поэлементное теоретическое воспроизведение про­цесса, моделирующее реальную физическую систему.

Особенностью метода является то, что получаемая в ре­зультате моделирования информация по своей природе аналогична той информации, которую можно было бы полу­чить в процессе исследования реальной системы, однако объем ее значительно больший и на ее получение затрачива­ется меньше средств и времени. Отсюда следует эффектив­ность использования метода моделирования, а также высокая точность и достоверность получаемых с его помощью ре­зультатов по сравнению с исследованием реальной системы.

Метод моделирования обычно используется для решения двух классов задач: детерминированных и вероятностных. Наибольший практический интерес представляет

примене­ние метода к вероятностным задачам, что позволяет решать задачи, не сформулированные в виде уравнений или формул.

В основе решения на ЭВМ вероятностных задач лежит моделирование случайных явлений. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Различные случайные величины, характеризующие отдельные стороны исследуе­мого процесса, воспроизводятся на ЭВМ с помощью слу­чайных чисел в соответствии с заданными законами распре­деления.

Теоретической основой метода моделирования служит закон больших чисел. Следовательно, этот метод основан на самых общих теоремах теории вероятностей и принципи­ально не содержит никаких ограничений. Он может быть применен для исследования любой системы с известным алгоритмом функционирования, а при достаточно большом числе испытаний от него можно требовать любой точности. Метод моделирования позволяет полнее учесть особенности функционирования исследуемых систем, использовать лю­бые законы распределения исходных случайных величин, имеет наглядную вероятностную трактовку, достаточно про­стую вычислительную схему и малую чувствительность к случайным сбоям машины в процессе решения. Все это дос­тоинства метода.

Вместе с тем метод моделирования обладает рядом не­достатков, наиболее существенными из которых являются большая трудоемкость и частный характер решения. Эффек­тивными путями преодоления этих недостатков являются:

разработка обобщенных универсальных подходов к по­строению моделирующих алгоритмов для исследования процессов функционирования систем различных классов;

создание библиотеки стандартных подалгоритмов и под­программ, моделирующих все основные типовые операции, встречающиеся при решении различных задач, и использу­емых как готовые стандартные блоки (например, моделирование случайных величин с различными законами распре­деления, оценка точности результатов, построение гисто­грамм случайных величин и т. п.);

создание библиотеки стандартных алгоритмов и про­грамм для решения основных типовых задач исследования систем;

дальнейшее развитие вопросов автоматизации програм­мирования и отладки программ на основе совершенствова­ния существующих и разработки новых эффективных алго­ритмических языков;

синтез метода моделирования с аналитическими метода­ми, позволяющий наилучшим образом использовать поло­жительные стороны каждого из них.

6.2. Формирование случайных величин с различными законами распределения и оценка точности результатов моделирования.

Моделирование на ЭВМ процессов функционирования различных систем связано с выработкой большого количе­ства случайных чисел с заданными законами распределения. Для этой цели используется обычно один из следующих способов:

генерирование случайных чисел специальной электрон­ной приставкой к машине — датчиком случайных чисел;

получение случайных чисел в машине в соответствии с заданной программой формирования.

Принцип действия датчика случайных чисел основан на использовании некоторых свойств физических явлений (например, собственные шумы электронных ламп, излу­чение радиоактивных источников). Таким образом, мож­но получить равномерно распределенную последователь­ность, распределение Пуассона и ряд других.

Однако большинство универсальных ЭВМ не имеет датчиков случайных чисел, поэтому наибольшее распро­странение получил программный способ формирования слу­чайных последовательностей, основанный на использовании некоторого рекуррентного соотношения.

При этом в ка­честве основного механизма генерирования случайных величин используется последовательность равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных чисел , ко­торые подвергаются дальнейшим преобразованиям для по­лучения заданных законов распределения.

Рассмотрим некоторые из алгоритмических способов формиро­вания равномерно распределенных случайных чисел.

Пусть F(х) и f(х) соответственно функция и плотность распределения некоторой случайной величины X, а i — случайное число с равномерным законом распределения в интервале (0,1). Тогда для получения случайного числа xi из совокупности случайных чисел, имеющих заданную функ­цию распределения F(х), необходимо решить относительно xi следующее интегральное уравнение:

(6.1)

т. е. определить такое значение xi, при котором функция распределения F (х) равна i.

Для некоторых частных законов распределения урав­нение (6.1) удается решить непосредственно. В большинстве же практически важных случаев уравнение (6.1) точно не решается. Тогда используют приближенные способы пре­образования случайных чисел, которые можно условно раз­бить на две группы. К первой группе относятся способы, основанные при приближенном решении уравне­ния (6.1):

численное решение уравнения (6.1) в процессе преобра­зования случайных чисел;

предварительная аппроксимация подынтегральной функ­ции в уравнении (6.1) полиномами или другими функциями, обеспечивающими простоту решения уравнения;

использование заранее составленных таблиц, содержа­щих решения уравнения (6.1).

Таблица 6.1

Наименование и параметры распределения	Плотность распределения	Математическое ожидание	Дисперсия	Формула для вычисления случайного числа
Равномерное в интервале (a, b)
Экспоненциальное с параметром 
Сдвинутое экспоненциальное с параметрами  и b (параметр сдвига)
Нормальное с параметрами а (математическое ожидание) и 2 (дисперсия)		a	2
Логарифмически нормальное с параметрами а и 				где
Эрланга с параметрами k и 
2 с параметром n (число степеней свободы)		n	2n
Вейбулла с параметрами  (масштабный параметр) и k (параметр, определяющий асимметрию и эксцесс)
Релея а параметром 			0,429 2
Стьюдента с параметром n (число степеней свободы)		0
Фишера с параметрами n1 и n2 (число степеней свободы)
Бета с параметрами n и m (число степеней свободы)

Примечание.

Ко второй группе относятся способы, не связанные с ре­шением уравнения (6.1):

отбор случайных чисел с заданным законом распределе­ния из исходной совокупности случайных чисел с равно­мерным распределением в интервале (0,1);

приближенное моделирование условий предельных тео­рем теории вероятностей.

В табл. 6.1 для различных непрерывных законов приведе­ны формулы для вычисления случайных чисел xi, полученные с использованием указанных выше способов а также выражения, устанавливающие связи между парамет­рами каждого распределения и его

математическим ожида­нием и дисперсией. Эти формулы обычно используются при исследовании влияния различных типов законов распреде­ления исходных случайных величин на результаты модели­рования.

Часто при решении задач на ЭЦВМ возникает необхо­димость моделирования случайных событий с известным рас­пределением вероятностей. Покажем, как это делается. Предположим, что заданы численные значения вероятнос­тей P1 , Р2,, ..., Рп для независимых событий A1 , А2 ,..., Аn , составляющих полную группу. Нужно определить в каждом испытании, какое из этих событий произошло.

Разобьем отрезок (0,1) на п отрезков так, чтобы длина i-го отрезка равнялась вероятности Pi. Выбирая из равно­мерного в интервале (0,1) распределения случайные числа i, будем определять, на какой участок отрезка попадает число i. Попадание случайного числа на i-й участок фиксируется как факт свершения события Ai.

Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний количество попаданий на i-й участок будет пропорциональ­но его длине (т. е. значению Рi), а это означает, что случайные события Ai воспроизводятся в соответствии с распределением вероятностей Рi.В ЭВМ этот процесс сводится к выбору случайного числа i и последовательной проверке условия

(6.2)

Для фиксированного i неравенство (6.2) выполняется лишь при каком-то одном значении k (k = l, 2, ..., п). Это значение k и определяет номер события Ап, которое произошло в данном опыте.

В простейшем случае число возможных исходов равнодвум, т.е. задана вероятность Р(А) события А и в каждом испытании требуется определить, произошло это событие или нет. Тогда процедура сводится к однократной проверке неравенства

i  Р (А) (6.3)

Если это неравенство выполняется, то фиксируется факт свершения события А.

Моделирование дискретной случайной величины X фак­тически сводится к рассмотренной ранее схеме случайных событий, так как каждому из возможных значений случай­ной величины X ставится в соответствие определенное зна­чение вероятности Р (X = т) того, что случайная величина примет значение, равное m. Алгоритмы для моделирования некоторых дискретных распределений (Пуассона, геометри­ческого и др.) приведены в работе.

Результаты моделирования обладают определенной по­грешностью, источниками которой могут быть: упрощение модели, неточность определения исходных данных, ограни­ченное число реализаций, сбои и т. п. Рассмотрим более по­дробно погрешность, обусловленную ограниченным числом реализаций, и приведем формулы для ее оценки.

Сточки зрения математической статистики, процесс моде­лирования сводится к выбору определенного объема из гене­ральной совокупности. В результате моделирования на основе полученного статистического материала дается количествен­ное описание исследуемых случайных величин, т. е. определя­ются основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, статистическая функция распре­деления и т. д.). При этом вследствие ограниченного числа испытаний вместо точных значений показателей мы полу­чаем их приближенные значения, называемые оценками.

К оценкам искомых показателей следует подходить как к обычным случайным величинам. При этом необходимо учитывать, что закон распределения оценки зависит и от распределения самой случайной величины, и от числа опы­тов. При реализации метода моделирования на ЭВМ число испытаний обычно бывает достаточно большим (от несколь­ких сотен до десятков тысяч). Это позволяет сделать вывод о нормальном законе распределения оценок математического ожидания, дисперсии, вероятности события, что суще­ственно упрощает анализ точности результатов модели­рования.

На практике задача сводится к определению точности результатов по известному числу реализаций1 пp или наоборот— к выбору такого значения пp, которое обеспечива­ет получение результатов с заданной точностью . По су­ществу, это одна задача, решение которой основывается на взаимосвязи трех величин: числа реализаций np, точности  и достоверности  результатов. Под достоверностью пони­мается доверительная вероятность

=P{a* -  < a < a* + }, (6.4)

т. е. вероятность того, что интервал (a* -  , a* + ) со слу­чайными границами (доверительный интервал) накроет не­известный параметр а.

В практике моделирования широкое применение получил метод автоматического контроля точности результатов мо­делирования с помощью ЭВМ. Сущность этого метода со­стоит в следующем: задают первоначальное число реализаций nр* (заведомо заниженное), а затем после каждой последую­щей реализации с помощью машины проверяется условие

 < тр, (6.5)

где , тр — соответственно текущее и требуемое значение относительной погрешности результатов.

При выполнении условия (6.5) расчет прекращается, и машина выдает результаты моделирования на печать.

Для оценки относительной погрешности  математиче­ского ожидания некоторой случайной величины X и вероят­ности Р события А используются формулы:

(6.6)

(6.7)

где ;-функция, обратная функции Лапласа, т. е. такое значение аргумента, при котором функ­ция Лапласа равна доверительной вероятности  (значе­ния t. табулированы и приведены в работе).

Для оценки относительной погрешности при вычисле­нии дисперсии случайной величины X используется выра­жение

(6.8)

из которого при заданном значении t нетрудно определить число реализаций nр, обеспечивающее требуемую относи­тельную погрешность е.

Анализ показывает, что рассматриваемые процессы функ­ционирования промышленных АСУ, как правило, обладают свойствами стационарности и эргодичности. Поэтому моде­лирующие алгоритмы для их исследования построены таким образом, что воспроизводят процессы функ­ционирования систем в течение заданного длительного ин­тервала времени мод (моделируется одна длинная реализа­ция), обеспечивающего получение статистически устойчивых результатов решения. Обычно длина интервала моделиро­вания мод задается ориентировочно с таким расчетом, чтобы в течение этого времени каждый из элементов исследуемой системы отказал несколько раз.

6.3. Основные этапы подготовки и решения задач оценки надежности и эффективности асу на эвм

Подготовка и решение задач оценки надежности и эффектив­ности АСУ с помощью ЭВМ — сложный и трудоемкий про­цесс, требующий совместной работы специалистов различно­го профиля. Можно условно разбить этот процесс на следу­ющие этапы:

1. постановка задачи и изучение исследуемого процесса;

2. выбор и обоснование показателей качества исследуемого процесса;

3. определение характеристик случайного процесса (ис­ходных данных) и диапазона их изменения;

4. обоснование требуемой точности получения резуль­татов;

5. формализация процесса и выбор способа построения статистической модели;

6. разработка моделирующего алгоритма;

7. составление программы для решения на ЭВМ и ее отладка;

8. решение задачи на ЭВМ в соответствии с таблицей вариантов;

анализ полученных результатов, выводы по задаче и рекомендации

Из анализа перечисленных выше этапов видно, что зна­чительная часть общего времени, необходимого для получе­ния конечных результатов, расходуется на этапах предва­рительной подготовки. Трудоемкость и сложность этих этапов обусловили необходимость совместной работы инже­неров, хорошо представляющих себе физическую сущность исследуемых процессов, и математиков-программистов, опре­деляющих выбор наиболее эффективных методов решения и реализующих их в виде программ.

Таким образом, эффективность применения метода мо­делирования зависит не только от технических характерис­тик ЭВМ, а в значительной степени определяется специфи­кой задачи и трудовыми затратами на этапах предваритель­ной подготовки ее к решению на машине. Поэтому большое внимание уделяется разработке библиотек стандартных ал­горитмов и программ для решения задач надежности и эф­фективности АСУ. При наличии таких алгоритмов и про­ грамм эффективность применения ЭВМ существенно по­вышается. Общее время получения требуемых результатов определяется при этом лишь временем подготовки таблиц ва­риантов исследования и «чистым» временем решения на ма­шине, которое может быть сокращено путем максимальной

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем заключается идея метода моделирования?

2. Какие существуют достоинства и недостатки метода моделирования на ЭВМ?

3. Какие законы распределения используются в данном методе.

4. Каким образом осуществляется оценка точности результатов моделирования.

5. Перечислите основные этапы подготовки и решения задачи оценки надежности и эффективности АСУ на ЭВМ.

Литература :

1. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю.Г., Збырко М.Д., Креденцер Б.П и т.д. –Изд "Техника" 1975г. Киев

2. Л.И. Рыжов. Средства передачи данных в АСУ. Раздел "Методика расчета надежности трактов передачи данных с временной и аппаратурной избыточностями".

3. Г.В. Дружинин. Надежность автоматизированных систем. Москва,"Энергия",1977г

4. В. М. Журавлев Методы расчета надежности систем автоматики. Учебно-методическое пособие. Г. Фрунзе 1984г.

1Понятие реализации относится к случайному событию, случайной величине или случайной функции. Для случайного события реализа­цией будет конкретное событие, происходящее в данном опыте, для слу­чайной величины — ее конкретное значение, а для случайной функции — конкретный вид функции. В таком же понимании употребляется по­нятие реализации и при моделировании АСУ.

А как ты думаешь, при улучшении метод статистического моделирования на эвм, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое метод статистического моделирования на эвм и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория надёжности

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.