Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое система массового обслуживания с отказами, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое система массового обслуживания с отказами, уравнения эрланга, смо , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория массового обслуживания.
Системы массового обслуживания делятся на два основных типа: а) системы с отказами, б) системы с ожиданием.
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.
В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал. В настоящем мы рас смо трим систему с отказами как наиболее простую.
Пусть имеется -канальная система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему с конечным множеством состояний:
- свободны все каналы,
- занят ровно один канал,
……………
- занято ровно каналов,
……………
- заняты все каналов.
Схема возможных переходов дана на рис. 19.8.1.
Рис. 19.8.1.
Поставим задачу: определить вероятности состояний системы для любого момента времени . Задачу будем решать при следующих допущениях:
1) поток заявок - простейший, с плотностью
2) время обслуживания - показательное, с параметром
. . (19.8.1)
Заметим, что параметр в формуле (19.8.1) полностью аналогичен параметру показательного закона распределения промежутка между соседними событиями простейшего потока:
. (19.8.2)
Параметр имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину можно истолковать как «плотность потока освобождений» занятого канала. Действительно, представим себе канал, непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда, очевидно, в этом канале будет идти простейший поток освобождений с плотностью .
Так как оба потока - заявок и освобождений - простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским.
Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности
. (19.8.3)
Очевидно, для любого момента времени
. (19.8.4)
Составим дифференциальные уравнения для всех вероятностей (19.8.3), начиная с . Зафиксируем момент времени и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии (все каналы свободны). Это может произойти двумя способами (рис. 19.8.2):
Рис. 19.8.2.
- в момент система находилась в состоянии , а за время не перешла из нее в (не пришло ни одной заявки),
- в момент система находилась в состоянии , а за время канал освободился, и система перешла в состояние .
Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из в через ) за малый промежуток времени можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с и .
По теореме сложения вероятностей имеем
. (19.8.5)
Найдем вероятность события по теореме умножения. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Вероятность того, что в момент система была в состоянии , равна . Вероятность того, что за время не придет ни одной заявки, равна . С точностью до величин высшего порядка малости
. (19.8.6)
Следовательно,
.
Найдем . Вероятность того, что в момент система была в состоянии , равна . Вероятность того, что за время канал освободится, равна с точностью до малых величин высшего порядка
.
Следовательно,
.
Отсюда
.
Перенося в левую часть, деля на и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение для :
. (19.8.7)
Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний.
Возьмем любое и найдем вероятность того, что в момент система будет в состоянии (рис. 19.8.3).
Рис. 19.8.3.
Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по числу стрелок, направленных в состояние ):
- в момент система была в состоянии (занято каналов), а за время не перешла из него ни в , ни в (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);
- в момент система была в состоянии (занято каналов), а за время перешла в (пришла одна заявка);
- в момент система была в состоянии (занято каналов), а за время один из каналов освободился.
Найдем . Вычислим сначала вероятность того, что за время не придет ни одна заявка и не освободится ни один из каналов:
.
Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем
,
откуда
.
Аналогично
,
и
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для :
.
Составим уравнение для последней вероятности (рис. 19.8.4).
Рис. 19.8.4.
Имеем
,
где - вероятность того, что за время не освободится ни один канал; - вероятность того, что за время придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для :
.
Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей :
(19.8.8)
Уравнения (19.8.8) называются уравнениями Эрланга. Интегрирование системы уравнений (19.8.8) при начальных условиях
;
(в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость для любого . Вероятности характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности, есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , застанет все каналы занятыми (получит отказ):
.
Величина называется относительной пропускной способностью системы. Для данного момента это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.
Система линейных дифференциальных уравнений (19.8.8) сравнительно легко может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов .
Заметим, что при выводе уравнений (19.8.8) мы нигде не пользовались допущением о том, что величины и (плотности потока заявок и «потока освобождений») постоянны. Поэтому уравнения (19.8.8) остаются справедливыми и для зависящих от времени , , лишь бы потоки событий, переводящих систему из состоянии в состояние, оставались пуассоновскимн (без этого процесс не будет марковским).
Информация, изложенная в данной статье про система массового обслуживания с отказами , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое система массового обслуживания с отказами, уравнения эрланга, смо и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория массового обслуживания
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про система массового обслуживания с отказами
Комментарии
Оставить комментарий
Теория массового обслуживания
Термины: Теория массового обслуживания