19.10. Система массового обслуживания с ожиданием, с примерами

Привет, Вы узнаете о том , что такое система массового обслуживания (смо) с ожиданием, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое система массового обслуживания (смо) с ожиданием , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория массового обслуживания.

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

пример - Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Система имеет один канал обслуживания и возможность накопле‑ ния заявок в очереди. На очередь не наложено никаких ограничений: ни на длину очереди, ни на время пребывания заявки в очереди. Состояния системы будем нумеровать по суммарному числу заня‑ тых каналов и заявок, находящихся в очереди, т. е. по числу заявок, находящихся в системе:

S0 — система свободна, т. е. канал не занят, очереди нет;

S1 — канал занят, обслуживается одна заявка, очереди нет;

S2 — канал занят, обслуживается одна заявка, другая заявка сто‑ ит в очереди;

S3 — канал занят, две заявки стоят в очереди; …;

Sk — канал занят, (k — 1) заявок стоит в очереди; и т.д.

Поскольку очередь не ограничена по длине, система имеет беско‑ нечное множество состояний. Интенсивность потока заявок (λ) не зависит ни от состояния канала обслуживания (свободен, занят), ниот числа заявок, находящихся в оче‑ реди, поэтому переход от любого состояния Sk к состоянию Sk+1, который происходит под влиянием потока заявок, совершается с по‑ стоянной интенсивностью, равной интенсивности потока заявок (с ин‑ тенсивностью λ). Канал обслуживания один, интенсивность его осво‑ бождения после обслуживания очередной заявки равна интенсивности потока обслуживаний μ и не зависит от числа заявок в очереди. Как только канал освободится, ближайшая заявка из очереди поступает в канал на обслуживание, очередь уменьшается на одну заявку, т. е. система переходит из состояния Sk в состояние Sk−1 . Следовательно, переход из любого состояния Sk в состояние Sk−1 происходит с постоянной интенсивностью, равной интенсивности потока обслуживаний, т. е. с интенсивностью μ.

Построим размеченный граф системы (рис. 1). Такая система имеет бесконечное множество состояний.

рис 1. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим систему, которая имеет n каналов обслуживания и возможность накопления заявок в очереди. На очередь не наложено никаких ограничений: ни на длину очереди, ни на время пребывания заявки в очереди. Состояния системы будем нумеровать по числу занятых каналов и числу заявок, находящихся в очереди, т. е. по числу заявок, находящихся в системе:

S0 — система свободна, т. е. каналы не заняты, очереди нет;

S1 — один канал занят, обслуживается одна заявка, очереди нет;

S2 — заняты два канала, обслуживаются две заявки, очереди нет;

S3 — три канала заняты, система обслуживает три заявки, очере‑ ди нет;

…;

Sn — все n каналов заняты обслуживанием заявок, очереди нет;

Sn+1 – все n каналов заняты обслуживанием, в очереди стоит одна заявка; …;

Sn r + — n каналов заняты обслуживанием, вочереди стоят r заявок; ит.д.

Поскольку очередь не ограничена по длине, система имеет бесконечное множество состояний. Интенсивность потока заявок (λ) не зависит ни от состояния каналов обслуживания (свободны, заняты), ни от числа заявок, находя‑ щихся в очереди, поэтому переход от любого состояния Sk к состоянию Sk+1 , происходящий под влиянием потока заявок, совершается с постоянной интенсивностью, равной интенсивности потока заявок, т. е. с интенсивностью λ. Если обслуживанием заняты k каналов, то суммарная интенсивность их освобождения в результате обслуживания заявок равна kμ, т.к. каждый канал может освободиться с интенсивностью, равной интенсивности потока обслуживаний μ, и система переходит из состояния Sk в состояние Sk−1 . В случае, когда заняты все n каналов, суммарный поток обслуживаний имеет интенсивность nμ (это не зависит от числа r заявок в очереди). Как только один из n каналов освободится, ближайшая заявка из очереди поступает в освободившийся канал на обслуживание и очередь уменьшается на одну заявку, т. е. система переходит из состояния S_n+r в состояние S_n+r-1.

Следовательно, переход из любого состояния Sn+r в состояние Sn+r-1 происходит с постоянной интенсивностью, равной максимально возможной суммарной интенсивности потока обслуживаний системы, т. е. с интенсивностью nμ, независимо от числа r заявок, находящихся в очереди. Построим размеченный граф системы (рис. 2.) Система работает по схеме процесса гибели и размножения.

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

,

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Возможные состояния системы будут:

- ни один канал не занят (очереди нет),

- занят ровно один канал (очереди нет),

………

- занято ровно каналов (очереди нет),

………

- заняты все каналов (очереди нет),

- заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

- заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

………

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Имеем:

,

откуда

.

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

,

откуда

.

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

. (19.10.3)

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

. (19.10.4)

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

,

откуда

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.8)

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

.

Получим:

. (19.10.14)

Относительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:

.

Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же и , будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания .

Непосредственное пользование формулами (19.10.11), (19.10.12) и (19.10.14) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.

Посмотрим, во что превратятся формулы (19.10.11) и (19.10.12) при и . Очевидно, что при система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при формулы (19.10.12) дадут нули, а формулы (19.10.11) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами.

Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием . В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при . Можно доказать, что такой режим существует только при , т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей -канальной системы. Если же , число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что , и найдем предельные вероятности для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах (19.9.10), (19.9.11) и (19.9.12) . Получим:

,

или, суммируя прогрессию (что возможно только при ),

. (19.10.15)

Отсюда, пользуясь формулами (19.10.8) и (19.10.9), найдем

, (19.10.16)

и аналогично для

. (19.10.17)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из формулы (19.10.13) при :

. (19.10.18)

Пример 1.

На вход трехканальной системы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью λ = 4 (заявки в час). Среднее время обслуживания одной заявки m _tоб = 30 мин.

Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности p₀, p₁, p₂, p₃, вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди m₅ .

Решение.

Имеем ; . Так как , установившийся режим существует. По формуле (19.10.16) находим

; ; ; .

Вероятность наличия очереди:

.

Средняя длина очереди по формуле (19.10.18) будет

(заявки).

Информация, изложенная в данной статье про система массового обслуживания (смо) с ожиданием , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое система массового обслуживания (смо) с ожиданием и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория массового обслуживания