19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое система смешанного типа с ограничением по длине очереди, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое система смешанного типа с ограничением по длине очереди, смо , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория массового обслуживания.

В предыдущей лекции мы рас смо трели систему массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок; если же число заявок в очереди равно m (больше m оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания - оставим прежними.

Для такой СМО (рисунок 1) заявка, заставшая все n каналов занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менеет заявок; если же число заявок в очереди равно m (большет оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему не обслуженной. Остальные допущения – о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания – оставим прежними.

Рисунок 1 – Граф переходов многоканальной СМО смешанного типа с ограничением по длине очереди, изображенный в виде схемы гибели и размножения

Итак, имеется n-канальная система с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m.

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать n + m (n обслуживаемых и m стоящих в очереди).

Перечислим состояния системы:

x_o - все каналы свободны, очереди нет,

x1 - занят один канал, очереди нет,

………

xk - занято k каналов, очереди нет,

………

x_n-1 - занято n - 1 каналов, очереди нет,

x_n - заняты все n каналов, очереди нет,

x_n+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

x_n+m - заняты все n каналов, m заявок стоит в очереди.

Очевидно, первые n уравнений для вероятностей будут совпадать с уравнениями Эрланга (19.8.8). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Выведем остальные уравнения. Имеем

,

откуда

.

Далее выведем уравнение для

,

откуда

.

Последнее уравнение будет

.

Таким образом, получена система (n+m+1) дифференциальных уравнений:

(19.11.1)

Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений

(19.11.2)

и добавочное условие:

. (19.11.3)

Уравнения (19.11.2) могут быть решены так же, как мы решили аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих . Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности Pn+m того, что в очереди уже стоят m заявок.

Нетрудно заметить, что формулы (19.11.4) и (19.11.5) получаются из формул (19.10.11), (19.10.12), если положить в них β = 0 и ограничить суммирование по S верхней границей m.

Пример.

На станцию текущего ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью λ=0.5 (машины в час). Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины (часа).

Определить:

• а) пропускную способность системы;
• б) среднее время простоя станции;
• в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта.

Решение.

Имеем: λ=0.5, μ=0.5, a = 1, m= 3.

а) По формуле (19.11.5), полагая n = 1, находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:

.

Относительная пропускная способность системы . Абсолютная пропускная способность: (машины в час).

б) Средняя доля времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (19.11.4): .

в) Полагая n = 2, найдем:

,

(т. е. удовлетворяться будет около 98% всех заявок).

(машины в час).

Относительное время простоя: , т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.

Информация, изложенная в данной статье про система смешанного типа с ограничением по длине очереди , подчеркивают роль современных технологий в обеспечении масштабируемости и доступности. Надеюсь, что теперь ты понял что такое система смешанного типа с ограничением по длине очереди, смо и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория массового обслуживания