Преобразование и матрица Хаусхолдера кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое преобразование хаусхолдера, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое преобразование хаусхолдера, матрица хаусхолдера , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Численные методы.

преобразование хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование векторного пространства , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором , который ортогонален ей, а — скалярное произведение в , тогда

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства Матрица Хаусхолдера

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой:
• Матрица Хаусхолдера является унитарной:
• Матрица Хаусхолдера является инволюцией: .
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное , которое соответствует собственному вектору , все другие собственные значения равны .
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен .

Применения матрицы Хаусхолдера

Геометрическая оптика

В геометрической оптике зеркальное отражение может быть выражено в терминах матрицы Хаусхолдера (см. « Зеркальное отражение» § Формулировка вектора ).

Числовая линейная алгебра

Преобразования Хаусхолдера широко используются в числовой линейной алгебре , например, для уничтожения элементов ниже главной диагонали матрицы, для выполнения QR-разложения и на первом этапе QR-алгоритма . Они также широко используются для преобразования в форму Гессенберга . Для симметричных или эрмитовых матриц симметрия может быть сохранена, что приведет к трехдиагонализации .

QR-разложение

Отражения Хаусхолдера можно использовать для вычисления QR-разложения путем отражения первого столбца матрицы на кратное стандартному базисному вектору, вычисления матрицы преобразования, умножения ее на исходную матрицу и последующего рекурсивного просмотра несовершеннолетние этого продукта.

Трехдиагонализация Трехдиагональная матрица

Эта процедура представлена ​​в «Численном анализе по Burden and Faires». Об этом говорит сайт https://intellect.icu . На первом этапе, чтобы сформировать матрицу Хаусхолдера на каждом этапе, нам необходимо определить а также , которые:

Из а также , построить вектор :

где , , а также

для каждого

Затем вычислите:

Найдя и вычислил процесс повторяется для следующим образом:

Продолжая таким образом, формируется трехдиагональная и симметричная матрица.

Примеры

В этом примере, также взятом из Burden and Faires ^, данная матрица преобразуется в аналогичную трехдиагональную матрицу A ₃ с использованием метода Хаусхолдера.

Следуя этим шагам в методе Хаусхолдера, мы получаем:

Первая матрица Хаусхолдера:

Использовал формировать

Как видим, конечный результат представляет собой трехдиагональную симметричную матрицу, аналогичную исходной. Процесс завершается после двух шагов.

Вычислительная и теоретическая связь с другими унитарными преобразованиями : Вращение (математика)

Преобразование Хаусхолдера - это отражение гиперплоскости с единичным вектором нормали. , как было сказано ранее. An-от- унитарное преобразование удовлетворяет . Взяв определитель (-я степень среднего геометрического) и след (пропорциональный среднему арифметическому) унитарной матрицы показывает, что ее собственные значения имеют единичный модуль. Это можно увидеть прямо и быстро:

Поскольку средние арифметические и геометрические равны, если переменные постоянны (см. Неравенство средних арифметических и геометрических ), мы устанавливаем требование единичного модуля.

Для случая вещественнозначных унитарных матриц получаем ортогональные матрицы :. Из этого довольно легко следует (см. Ортогональную матрицу ), что любая ортогональная матрица может быть разложена на произведение 2 на 2 вращения, называемых вращениями Гивенса и отражениями Хаусхолдера. Это интуитивно привлекательно, поскольку умножение вектора на ортогональную матрицу сохраняет длину этого вектора, а вращения и отражения исчерпывают набор (действительных) геометрических операций, которые делают длину вектора неизменной.

Было показано, что преобразование Хаусхолдера имеет однозначную взаимосвязь с каноническим разложением смежных классов унитарных матриц, определенных в теории групп, которое можно использовать для очень эффективной параметризации унитарных операторов.

Наконец, отметим, что одно преобразование Хаусхолдера, в отличие от отдельного преобразования Гивенса, может воздействовать на все столбцы матрицы и, как таковое, демонстрирует наименьшие вычислительные затраты на QR-разложение и трехдиагонализацию. Наказанием за эту «вычислительную оптимальность» является, конечно, то, что операции Хаусхолдера не могут быть столь глубоко или эффективно распараллелены. Таким образом, Хаусхолдер предпочтительнее для плотных матриц на последовательных машинах, в то время как Гивенс предпочтительнее для разреженных матриц и / или параллельных машин.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• qr-алгоритм , qr алгоритм ,
• Матрица отражения

Исследование, описанное в статье про преобразование хаусхолдера, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое преобразование хаусхолдера, матрица хаусхолдера и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Численные методы