Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Лекция



Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Численные методы.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка 
Численные методы решения систем ОДУ первого порядка 
Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, где x – независимая переменная, 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - i-ая производная от искомой функции. n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. общее решение имеет вид 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Примеры краевых задач:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при условии 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, расчетными узлами служат точки 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений промежутка [x0, xn].

Целью является построение таблицы

xi

x0

x1

xn

yi

y0

y1

yn

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, получим

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений,

то получим явную формулу Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Порядок расчетов:

Зная 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, находим 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, затем 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Пользуясь тем, что в точке x0 известно решение y(x0) = y0 и значение его производной 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, можно записать уравнение касательной к графику искомой функции 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в точке 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений:5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. При достаточно малом шаге h ордината 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, должна мало отличаться от ординатыy(x1) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, которая приближенно отражает поведение касательной к 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в точке 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Подставляя сюда 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x25. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, то придем к методу

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений по известному значению 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из двух этапов:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p–го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений,

где

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

…………………………………………….

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Здесь anbnj, pn5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений– некоторые фиксированные числа (параметры).

При построения методов Рунге–Кутты параметры функции 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (anbnj, pn) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

 

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Пример. Решить задачу Коши:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

Точное решение: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Расчетные формулы метода Рунге – Кутта:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

x

y1

y2

y3

точное

0

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.1

1.2000

1.2210

1.2221

1.2221

0.2

1.4420

1.4923

1.4977

1.4977

0.3

1.7384

1.8284

1.8432

1.8432

0.4

2.1041

2.2466

2.2783

2.2783

0.5

2.5569

2.7680

2.8274

2.8274

0.6

3.1183

3.4176

3.5201

3.5202

0.7

3.8139

4.2257

4.3927

4.3928

0.8

4.6747

5.2288

5.4894

5.4895

0.9

5.7377

6.4704

6.8643

6.8645

1

7.0472

8.0032

8.5834

8.5836

y1 – метод Эйлера, y2 – модифицированный метод Эйлера, y3 – метод Рунге Кутта.

Видно, что самым точным является метод Рунге – Кутта.

Численные методы решения систем ОДУ первого порядка

Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Явный метод Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Модифицированный метод Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Введем вторую неизвестную функцию 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда задача Коши заменяется следующей:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Т.е. в терминах предыдущей задачи: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример. Найти решение задачи Коши:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [0,1].

Точное решение: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Действительно:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.

Введем функцию 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Явный метод Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Модифицированный метод Эйлера:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Рунге – Кутта:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Схема Эйлера:

X

y

z

y теор

z теор

y-y теор

0

1

0

1

0

0

0.2

1

-0.2

0.983685

-0.14622

0.016315

0.4

0.96

-0.28

0.947216

-0.20658

0.012784

0.6

0.904

-0.28

0.905009

-0.20739

0.001009

0.8

0.848

-0.2288

0.866913

-0.16826

0.018913

1

0.80224

-0.14688

0.839397

-0.10364

0.037157

Модифицированный метод Эйлера:

X

ycv

zcv

y

z

y теор

z теор

y-y теор

0

1

0

1

0

1

0

0

0.2

1

-0.2

1

-0.18

0.983685

-0.14622

0.016315

0.4

0.96

-0.28

0.962

-0.244

0.947216

-0.20658

0.014784

0.6

0.904

-0.28

0.9096

-0.2314

0.905009

-0.20739

0.004591

0.8

0.848

-0.2288

0.85846

-0.17048

0.866913

-0.16826

0.008453

1

0.80224

-0.14688

0.818532

-0.08127

0.839397

-0.10364

0.020865

Схема Рунге - Кутта:

x

Y

z

k1

l1

k2

l2

k3

l3

k4

l4

0

1

0

0

-1

-0.1

-0.7

-0.07

-0.75

-0.15

-0.486

0.2

0.983667

-0.1462

-0.1462

-0.49127

-0.19533

-0.27839

-0.17404

-0.31606

-0.20941

-0.13004

0.4

0.947189

-0.20654

-0.20654

-0.13411

-0.21995

0.013367

-0.2052

-0.01479

-0.2095

0.112847

0.6

0.904977

-0.20734

-0.20734

0.10971

-0.19637

0.208502

-0.18649

0.187647

-0.16981

0.27195

0.8

0.866881

-0.16821

-0.16821

0.269542

-0.14126

0.332455

-0.13497

0.317177

-0.10478

0.369665

1

0.839366

-0.1036

-0.1036

0.367825

-0.06681

0.40462

-0.06313

0.393583

-0.02488

0.423019

Max(y-y теор)=4*10-5

Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ

Постановка задачи: найти решение линейного дифференциального уравнения

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, (1)

удовлетворяющего краевым условиям:5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. (2)

Теорема. Пусть 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда существует единственное решение поставленной задачи.

К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Основные этапы метода конечных разностей:

1) область непрерывного изменения аргумента ([a,b]) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

2) Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Функция 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений называется сеточной.

3) Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.

 

 

Аппроксимация производных.

Для аппроксимации (замены) первой производной можно воспользоваться формулами:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - правая разностная производная,

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - левая разностная производная,

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - центральная разностная производная.

т.е., возможно множество способов аппроксимации производной.

Все эти определения следуют из понятия производной как предела: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений(3)

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка.

Определение. Погрешностью аппроксимации n- ой производной называется разность: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Т.е. правая разностная производная имеет первый по h порядок аппроксимации.

Аналогично и для левой разностной производной.

Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации.

Аппроксимация второй производной по формуле (3) также имеет второй порядок аппроксимации.

Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (1), (2) и заменим в(1) производные:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

В результате получим:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (4)

Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные заменены с порядком 2, а остальные – точно.

Итак, вместо дифференциальных уравнений (1), (2) получена система линейных уравнений для определения 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в узлах сетки.

Схему можно представить в виде:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

т.е., получили систему линейных уравнений с матрицей:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все элементы, которые расположены не на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях равны нулю.

Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.

Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.

 

Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (1)

Решение данной системы ищем в виде:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (2)

Подставляя в первое уравнение, получим:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Так как

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, (3)

то подставляя (3) во второе уравнение, получим:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Сравнивая с (2) получим

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Таким образом, можно найти все 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тогда из последнего уравнения (1) находим:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Затем последовательно находим:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:

1) Находим 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2) Для i=1,n-1: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (4)

3) Находим 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

4) Для i=n-1 до 1 находим: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Шаги 1),2) – прямой ход метода прогонки, 3),4) – обратный ход метода прогонки.

Теорема. Пусть коэффициенты ai, bi системы уравнений при i =2, 3, …, n–1 отличны от нуля и пусть

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при i =1, 2, 3, …, n. Тогда прогонка корректна и устойчива.

При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть ни что иное, как условие диагонального преобладания.

Для нашей краевой задачи имеем :

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Тогда: 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений,

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Для нашей задачи условие устойчивости имеет вид:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. (6)

Тогда 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Пример. Найти решение задачи:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Выпишем разностную схему

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Условие устойчивости примет вид 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Возьмем 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тогда 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Или

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Формулы прогонки были получены для СЛАУ (1):

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь x замены на u.

Следовательно,

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим в виде таблицы:

I

ai

ci

bi

fi

alfai

betai

ui

1

 

51

35

0.2

0.6863

-0.0039

0.4701

2

15

51

35

0.4

0.8598

-0.0113

0.6906

3

15

51

35

0.6

0.9186

-0.0202

0.8164

4

15

51

35

0.8

0.9403

-0.0296

0.9107

5

0

-1

 

1

 

 

1.0000

Порядок вычислений по формулам (4):

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Ответ в столбце ui.

Если забыли формулы, то их можно легко вывести. Главное запомнить основную формулу:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Прямой ход

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обратный ход

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

На практике часто граничные условия могут иметь более общий вид.

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Найти решение ОДУ 2-го порядка

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений,

удовлетворяющую краевым условиям:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия.

Аппроксимация:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

В результате получим разностную схему:

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Или

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Мы получили СЛАУ типа (5) с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.

Я хотел бы услышать твое мнение про численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Надеюсь, что теперь ты понял что такое численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Численные методы

создано: 2014-10-03
обновлено: 2021-03-13
132685



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Численные методы

Термины: Численные методы