- 1.4.Параметрическая идентификация

Это окончание невероятной информации про .

...

k

Уравнение (1.46) можно переписать в векторно-матричном виде:

Ym =UAm ,

(1.47)

где U – единичный столбец, введенный для идентификации парамет-

1

u (1)

u

(1)

K u

n

(1)

1

2

ра

a ,

U = 1

u1(2)

u2 (2)

K un (2)

;

0

M

M

M

M

M

1 u1(k) u2 (k)

K un (k)

a0

Am – матрица коэффициентов модели, Am = a1 .

Man

Ошибка оценивания, или функция невязки, имеет вид

y(1)

ym (1)

E =Y −Y

= y(2)

− ym (2) .

(1.48)

m

M

M

y(k)

ym (k)

Тогда критерий оптимальности определяется по методу наименьших квадратов:

J = ET E.

(1.49)

Таким образом, наилучшая (в смысле наименьших квадратов) оценка матрицы Am определяется как решение следующего уравнения:

дJ

= 0.

(1.50)

дA

m

После подстановки (1.48) в (1.49) уравнение (1.49) имеет вид

дJ

д{ET E}

д{(Y −Y )T (Y −Y )}

=

=

m

m

=

дA

дA

дA

m

m

m

(1.51)

д{(Y −UA )T

(Y −UA )}

=

m

m

= 0.

дAm

Уравнение (1.50) представляет дифференцирование скалярной ве-

личины ET E по матрице A ,

используя матричную алгебру, преобра-

m

зуем выражение (1.50):

41

дJ

д{(Y −UA )T (Y −UA )}

дtr{(Y −UA )(Y −UA )T }

=

m

m

=

m

m

=

дA

дA

дA

m

m

m

= дtr(YYT +UAm (UAm )T −Y (UAm )T −UAmY )T =

дAm

= дtr(YYT +UAm AmTU T −YAmTU T −UAmY )T =

дAm

дβααT γ

T

T

=

(β γ

+ γβ)α

∂α

=

дβαT γ

= γβ

=

дα

дβαγ

T

T

дα

=β γ

= 0 +(U T (U T )T +U TU )A

−U TY −(U )T (YT )T =

m

= (U TU +U TU )A −U TY −U TY =

m

= 2U TUA −2U TY = 0,

m

где tr – след матрицы.

Уравнение (1.50) после преобразований имеет вид

U TUA −U TY = 0.

(1.52)

m

Таким образом, наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка матрицы параметров Am удовлетворяет уравнению

A =[U TU ]−1U TY = 0.

(1.53)

m

Данное выражение и является основой для идентификации на основе линейной регрессии и метода наименьших квадратов.

Для того чтобы построенная модель была адекватна объекту, количество измерений k должно удовлетворять следующему условию:

k ≥ n +1.

(1.54)

Одномерный линейный регрессионный анализ может быть применим и для нелинейных систем. Проиллюстрируем следующим примером.

Пусть система описана квадратичным уравнением

42

y = a0 + a1x + a2 x2.

Нетрудно заметить, что уравнение (1.54) применимо для уравнения (1.45) при условии, что u1 = x,u2 = x2. Тогда матрица U определяется как

x(1)

x

2

(1)

1

1 x(2)

x2

(2)

U =

.

M

M

M

x(k)

x

2

1

(k)

a0

Оценивание вектора параметров A = a1 осуществляется по

a2

формуле (1.52).

Рассмотрим линейную статическую систему, представленную на рис. 1.15, имеющую n входов U и m выходов Y.

Рис. 1.15. Схема многомерной системы

Процесс, протекающий в многомерных системах, имеет n входов и m выходов и по аналогии с одномерным процессом может быть описан следующей системой уравнений:

n

y1 = a10 +∑a1iui

i=1

M

(1.55)

n

ym = am0 +∑amiui . i=1

43

u1

Используя серию измерений величин U = u2 и Y

Mun

y1

= y2

в тече-

M

ym

ние определенного отрезка времени t [t0 , tk ], можно сформировать матрицу измерений величин U и Y следующим образом:

1

U = u1(1)M

un (k)

y1(1)

Y = Mym(1)

1 u1(2)

un (k)

y1(2)

ym(2)

L

1

L

u

(k)

1

L

un (k) .

Lym(k)

M

Lym(k)

Уравнение (1.55) можно переписать в матричном виде:

Ym = AmU.

(1.56)

Вычислим оптимальную оценку матрицы A способом, аналогичным способу для одномерных систем:

дJ

д(ET E)

д(Y −Y )T (Y −Y )

=

=

M

M

=

дA

дA

дA

m

m

m

= дtr[(Y − AmU )(Y − AmU )T ] =

дAm

= дtr(YYT + AmU (AU )T −Y (AmU )T − AmUYT ) =

дAm

= дtr(YYT + AmUU T AmT −YU T AmT − AmUYT ) =

дAm

44

дαβαдα T = α(β+βT )

=

дβαT

=β

=

дα

дβαγ

T

T

дα

=β γ

=0 + Am (UU T +(UU T )T ) −YU T −(I )T (UYT )T =

=Am (UU T +UU T ) −YU T −YU T =

= 2AmUU T −2UX T = 0.

Таким образом, наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка матрицы параметров Am удовлетворяет уравнению

A =YU T (UU T )−1.

(1.57)

m

Требования к количеству измерений состоят в том, что для адек-

ватности модели необходимо, чтобы:

l ≥ (n +1) m.

(1.58)

Рассмотренные выше методы оценивания одномерной и многомерной линейной модели реализуются по явной схеме идентификации, достоинства и недостатки которой были рассмотрены выше.

На практике целесообразнее применять итерационные методы, т.е. схемы с настраиваемой модели.

Линейный регрессионный анализ может быть реализован в замкнутой схеме идентификации (схеме с настраиваемой моделью).

Итерационные методы идентификации используют методы последовательного уточнения матрицы коэффициентов.

Формула итерационного регрессионного анализа имеет вид

A (k +1) = A (k) +[Y (k +1) − A (k)U (k)][P(k +1)U (k)]T , (1.59)

m

m

m

где Am (k +1), Am (k) – оцениваемая матрица коэффициентов в предыдущий и в текущий моменты наблюдений; Y (k +1) – вектор выхода, измеренный в текущий(k +1) момент наблюдений; U (k) – вектор входа, измеренный в предыдущий k-й момент наблюдений; P(k +1) – вспомогательная матрица, определяемая по формуле

45

P(k +1) = P(k) − P(k) U (k)×

×[1+U T (k)P(k)U (k)]−1U T (k)P(k). (1.60)

Итерационные вычисления осуществляются до тех пор, пока уточнение коэффициентов матрицы Am (k +1) не достигнет заданной точности:

Am (k +1) − Am (k)

≤ ε.

(1.61)

Начальные значения матриц Am (0), P(0) можно определить произвольно, например, так:

A(0)

= I,

P(0)

=

1

I,

(1.62)

ε

где I – единичная матрица; ε – заданная точность оценивания.

1.4.6.Идентификация динамических систем

Воснове идентификации динамических систем, как правило, лежит описание данных систем в виде передаточной функции [7, 13, 21].

Допустим, динамическая система описана передаточной функцией следующего вида:

W(p)=

b pm +b pm−1

+...+b

p +b

0

1

m+1

m

.

(1.63)

a pn + a pn−1

+...+ a

p + a

0

1

n−1

n

На основе передаточной функции (1.63) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка из n-уравнений

dx

= AX(t)+ BU(t),

(1.64)

dt

Y(t)= CX(t),

где Y(t) – вектор выходных переменных; U(t) – вектор входных пере-

менных; X(t) – вектор состояния (внутренние динамические перемен-

ные).

От дифференциальных уравнений переходим к разностным уравнениям

46

V(k +1)= Ф(Т )V(k),

0Y(k)= СV(k),

U

где V – обобщенный вектор, V = ; Ф(bi , ai , T0 )

X

(1.65)

– матрица перехо-

да, параметры которой bi , ai подлежат оцениванию.

В соответствии с (1.57) и (1.65) матрица перехода Ф определяется

как

Ф(Т0)=V T (k +1)V T (k)V(k)V T (k) −1,

(1.66)

где

V(k)=

v1(1)

v1(2)

L v1(l −1)

M

M

,

vn(1) vn

(2)

L vn(l −1)

v

(2)

v

(3)

L

v (l)

V(k +1)=

1M

1

1M

.

vn

(2) vn

(3)

L vn(l)

Количество измерений l определяется по формуле (1.58).

По полученной матрице перехода можно вычислить матрицу коэффициентов:

∞ (AT )i

AT

Ф(T ) − I

Ф(T0 ) = ∑

0

≈ I +

0

A ≈

0

.

(1.67)

i!

1!

T

i=0

0

Пример.

Пусть объект управления задан структурной схемой (рис 1.16):

u(t)

x2 (t)

x1(t)

K1

T

K2

−

y(t)

1T

Рис. 1.16. Структурная схема САУ

47

Необходимо определить параметры системы K1, K2 , T. Определим вектор состояния системы:

r V = x1 .

x2

Динамика процессов описывается с помощью системы дифференциальных уравнений:

drdt = 0,

dx1

= K

2

x ,

dt

2

dx2

=

K1

r −

K1

x −

1

x ,

dt

T

T

1

T 2

y = x1.

Основные матрицы модели:

0

0

0

A =

0

0

K

2

,C =[0 1 0].

K

K

1

1

−

1

−

T

T

T

Матрица коэффициентов

A

имеет размерность n×n = 3×3, по-

этому для достоверных результатов идентификации (1.58) количество наблюдений l должно быть не менее 10.

В результате серии экспериментов определен вектор состояния:

r(1)

K

r(10)

V = x

(1)

K

x

(10)

,

1

1

(1)

K

x2

x2

(10)

а матрицы V (k), V (k +1), соответственно, имеют вид

48

r(1)

K

r(9)

(1)

V (k) = x1

K

x1(9) ,

(1)

K

x2

x2 (9)

r(2)

K r(10)

V (k +1) =

(2)

x1

K x1(10) .

(2)

x2

K x2 (10)

Тогда можно определить матрицу перехода:

Ф(T0 ) =V (k +1) V T (k) V (k) V T (k) −1,

а на основе матрицы перехода – и матрицу коэффициентов:

A ≈ Ф(T0 ) − I. T0

Зная численные значения и структуру матрицы коэффициентов А, можно определить параметры системы K1, K2 , T.

1.4.7. Идентификация нелинейных систем

Достаточно развитая теория идентификации нелинейных систем предлагает большое количество различных методов их исследования. Но ни один из методов не является универсальным и характеризуется своей областью применения. Наиболее распространены следующие методы [3, 7, 21]:

1.Метод прямого поиска.

2.Аппроксимация нелинейности.

3.Модель Гаммерштейна.

4.Метод Винера.

5.Двухэтапная процедура. Рассмотрим каждый из методов.

1.Метод прямого поиска.

Нелинейную функцию f(x) преобразуют в линейную функцию fЛ(x) . Далее применяют любой метод идентификации линейныхсистем.

Допустим, что модель объекта имеет вид

y = α

0

xβ1 xβ2

,

(1.68)

1

2

49

где x1,x2 – входные переменные; y – выходная переменная; α0 , β1, β2 –

оцениваемые параметры модели.

Нетрудно заметить, что логарифмирование нелинейного уравне-

ния (1.68) приводит систему к линейному виду:

z = a0 +a1r1 + a2r2 ,

(1.69)

где z – выходная переменная линейной модели,

z = lny ;

r1, r2 – входные переменные линейной модели, r1 = lnx1, r2 = lnx2 ; a0 , a1, a2 – параметры линейнойсистемы, a0 = lnα, a1 =β1, a2 =β2.

Оценивание параметров линейной модели осуществляется явными методами одномерной линейной регрессии (1.52) или итерационным методом (схема с настраиваемой моделью) (1.59).

2. Аппроксимация нелинейностей.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая непрерывная нелинейная функция можетбыть представлена в виде полинома

y = a

+ a x + a

2

x2

+b х

2

+b х2

+K .

(1.70)

0

1

1

1

1

2

2

Полином (1.70) легко приводится к линейной регрессии, алгоритм оценивания которой был рассмотрен выше.

Аппроксимация с помощью полинома удобна, если значения нелинейной функции получены экспериментально.

3. Модель Гаммерштейна.

В соответствии с моделью Гаммерштейна нелинейная система приводится к виду, представленному на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Структурная схема модели Гаммерштейна

Алгоритм идентификации зависит от априорной информации о виде нелинейности F(u(t)) .

Если известна функциональная зависимость F(u(t)) , то при вводе переменной z(t) = F(u(t)) идентификация сводится к определению параметров линейной части модели Гаммерштейна:

y(t) =W ( p)z(t).

(1.71)

Если функциональная зависимость F(u(t)) не известна, строится таблица этой нелинейной зависимости, по которой любой формулой интерполяции рассчитывается аппроксимирующий полином нелинейности P(u(t)) . Зная параметры аппроксимирующего полинома, определяют переменную z(t) = P(u(t)), и задача идентификации снова сводится к определению параметров линейной части модели Гаммер-

штейна (1.71).

4. Метод Винера.

Метод Винера – один из самых точных методов идентификации нелинейных систем.

Суть метода сводится к последовательному разложению входного сигнала сначала по коэффициентам Лагерра:

т

x(t) ≈ ∑ci xi ,

(1.72)

i=1

где ci – коэффициенты Лагерра; xi

– дискретные значения входного

сигнала.

Коэффициенты Лагерра рассчитываются по формуле

ci =

xi

,

(1.73)

(n +1)2 L

(x )2

n+1

i

где Ln+1(xi ) – значение полинома Лагерра, вычисленного для дискретного значения сигнала xi .

Рекуррентная формула вычисления полинома Лагерра имеет вид

(n +1)Ln+1(x) = (2n +1− x)Ln (x) −nLn−1(x).

(1.74)

Коэффициенты Лагерра представляют в виде функции Эрмита:

c

= (−1)

i

e

i 2 d(e−x )

(1.75)

.

i

dxi

Функции Эрмита и выходные сигналы объекта исследования сравниваются специальным кросс-коррелятором, определяющим достоверность проведенной идентификации.

Данный подход обладает следующими достоинствами:

51

•Стационарный белый гауссов шум является наиболее общим тестовым сигналом для стационарной нелинейной системы.

•Любая нелинейная система имеет эквивалент в виде некоторой линейной системы (цепочка Лагерра) со многими выходам, за которой следует безынерционная система (функция Эрмита).

Однако подход Винера имеет ограниченное практическое применение. Это обусловлено следующими причинами:

•Требование, чтобы вход представлял белый гауссов шум, является слишком жестким. Гораздо удобнее иметь метод, способный обрабатывать реализации сигналов в процессе нормальной работы.

•Очень велико число коэффициентов, которое требуется для описания даже простой нелинейной системы.

•Теория Винера не позволяет получить описание нелинейных систем, допускающее ясную физическую интерпретацию.

5. Двухэтапная процедура идентификации нелинейных систем. Процедура оценивания параметров нелинейного объекта осуще-

ствляется в два этапа.

1) Нелинейная характеристика разбивается на участки, в пределах которых нелинейная функция может быть с достаточной долей точности представлена линейной функцией (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Линеаризация нелинейной зависимости

Участки [xi , xi+1] называются участками линеаризации; начало участков xi – точкой линеаризации. В каждой точке линеаризации входной переменной придается незначительное приращение xi +∆xi

52

и фиксируется изменение выходной переменной xHi = f (xi +∆xi ). По

данным входного и выходного переходного процесса для каждой точки линеаризации с помощью методов идентификации для линейных систем рассчитывается матрица коэффициентовАi:

ai Ai = M11

ami 1

La1in

M .

Lamni

2) Аппроксимация линейных моделей в нелинейную функцию. Каждый коэффициент матрицы аппроксимируется по той или иной

интерполяционнойформуле спомощьюлюбого полинома akji = pkj (x).

p(x)

A = Mpm1(x)

L p1n(x)

M .

L pmn(x)

Исследование, описанное в статье про 1.4.Параметрическая идентификация, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 1.4.Параметрическая идентификация и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Идентификация систем управления

Продолжение:

Часть 1 1.4.Параметрическая идентификация
Часть 2 - 1.4.Параметрическая идентификация