Фильтр Баттерворта

Привет, Вы узнаете о том , что такое фильтр баттерворта, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое фильтр баттерворта , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Устройства приема и обработки радиосигналов, Передача, прием и обработка сигналов.

Фильтр Баттерво́рта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. фильтр баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом . в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает с крутизной −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты.

Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

ЛАЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характеристики — дБ/декаду, где — порядок фильтра.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, полосовой или режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта-го порядка может быть получена из передаточной функции :

где

• — порядок фильтра
• — частота среза (частота на которой амплитуда равна −3 дБ)
• — коэффициент усиления по постоянной составляющей (усиление на нулевой частоте)

Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления, а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены представим выражение в виде:

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудаленно друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. -й полюс определяется из следующего выражения:

откуда

Передаточную функцию можно записать в виде:

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s-плоскости, а для z-плоскости.

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряженные пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

, � — четно

, � — нечетно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

	Коэффициенты полиномов
1
2
3
4
5
6
7
8

Максимальная гладкость

Приняв и , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

Она монотонно убывает для всех так как коэффициент усиления всегда положителен. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристики в ряд, получим:

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характеристики по частоте до -й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

Спад характеристики на высоких частотах

Приняв , найдем наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон дБ/декаду.

Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остается неизменной.

Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (емкости и индуктивности). Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. -й элемент фильтра задается соотношением:

; k нечетно

; k четно

Топология Саллена — Ки

Топология Саллена-Ки использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители). Каждый каскад схемы Саллена-Ки представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряженных полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включен в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Ки имеет вид:

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв , получим:

и

Последнее соотношение дает две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров 5-го порядка: Баттерворта, Чебышева 1-го и 2-го типов и эллиптического

Рисунок показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами пятого порядка.

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырех, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

Пример

Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот (топология Кауэра) с частотой среза со следующими номиналами элементов: фарад, ом, и генри.

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с фарад, ом, и генри. Обозначив полное сопротивление емкостей как и полное сопротивление индуктивностей как , где — комплексная переменная, и используя уравнения для расчета электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

АЧХ задается уравнением:

а ФЧХ задается уравнением:

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность емкостью, а емкости — индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

и групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Электронный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Фильтры сетевого синтеза

Исследование, описанное в статье про фильтр баттерворта, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое фильтр баттерворта и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Устройства приема и обработки радиосигналов, Передача, прием и обработка сигналов