Возражения, основанные на принципах математики

Благодаря работам Тьюринга и Геделя широко известно, что на некоторые математические вопросы нельзя даже в принципе найти ответ в рамках конкретных формальных систем. При этом наибольшую известность получила теорема Геделя о неполноте. Кратко эту теорему можно сформулировать таким образом: для любой формальной аксиоматической системы F, достаточно мощной для того, чтобы в ней можно было представить арифметику, возможно сконструировать так называемое "предложение Геделя" G{ F) с описанными ниже свойствами.

• G(F) — это предложение системы F, но оно не может быть доказано в рамках F.
• Если система F является непротиворечивой, то предложение G(F) — истинно.

Философы, в том числе Дж. Р. Лукас, утверждали, что эта теорема показывает, будто машины как мыслящие субъекты всегда будут стоять ниже людей, поскольку машины — это формальные системы, ограниченные в силу теоремы о неполноте (они не способны установить истинность относящегося к ним самим предложения Геделя), а люди не имеют такого ограничения.

Споры вокруг данного утверждения продолжались несколько десятилетий и породили огромное количество литературы, в том числе две книги математика сэра Роджера Пенроуза, повторившего это утверждение с некоторыми новыми выкрутасами (такими как гипотеза, согласно которой человек отличается от машины, поскольку его мозг действует на основе квантовой гравитации).

Во-первых, теорема Геделя о неполноте распространяется только на формальные системы, достаточно мощные для того, чтобы в них можно было представить арифметику. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . К таким формальным системам относятся машины Тьюринга, поэтому утверждение Лукаса частично основано на том предположении, что компьютеры представляют собой машины Тьюринга. Это — хорошая аппроксимация, но не совсем оправданная. Машины Тьюринга являются бесконечными, а компьютеры конечны, поэтому любой компьютер может быть описан как (очень большая) система в пропозициональной логике, на которую не распространяется теорема Геделя о неполноте.

Во-вторых, агенту не следует стыдиться того, что он не может определить истинность некоторого высказывания, тогда как другие агенты могут. Рассмотрим приведенное ниже предложение. Дж.Р. Лукас не может неоспоримо утверждать, что это предложение истинно.

Если бы Лукас подтвердил истинность этого предложения, то он бы противоречил самому себе, поэтому Лукас не может неоспоримо подтвердить истинность данного предложения, а это означает, что оно должно быть истинным. (Это предложение не может быть ложным, поскольку, если бы Лукас не мог неоспоримо его подтвердить, то оно было бы истинным.) Таким образом, мы продемонстрировали, что есть такое предложение, которое Лукас не может неоспоримо подтвердить, тогда как другие люди (и машины) могут. Но из-за этого никто не вправе изменить своего мнения о Лукасе в худшую сторону.

В качестве еще одного примера укажем, что ни один человек за всю свою жизнь не сможет вычислить сумму 10 миллиардов десятизначных чисел, а компьютер способен выполнить такую операцию за секунды. Тем не менее мы не рассматриваем этот факт как свидетельство фундаментального ограничения способности человека мыслить. Люди вели себя интеллектуально за тысячи лет до того, как изобрели математику, поэтому маловероятно, что способность формировать математические рассуждения играет более чем периферийную роль в том, что подразумевается под понятием интеллектуальности.

В-третьих (и это — наиболее важное возражение), даже если принять предположение, что компьютеры ограничены в том, что они способны доказать, нет никаких оснований считать, будто эти ограничения не распространяются на людей. Слишком легко вести этот спор, строго доказав, что формальная система не может выполнить действие X, а затем сообщив, что люди могут выполнить действие X, используя свои человеческие неформальные методы, но не дав ни одного свидетельства в пользу этого утверждения. И действительно, невозможно доказать, что на формальные рассуждения, проводимые людьми, не распространяется теорема Геделя о неполноте, поскольку любое строгое доказательство само должно содержать формализацию способностей человеческого гения, которые, как многие утверждают, являются неформализуемым, и поэтому должно опровергать само себя.

Таким образом, нам остается лишь прибегать к интуитивному представлению о том, что люди иногда способны проявлять сверхчеловеческие черты математического прозрения. Подобные утверждения выражаются в виде доводов: "мы должны быть уверены в том, что мы мыслим правильно, поскольку иначе мышление вообще становится невозможным". Но если об этом зашла речь, то давно известна склонность людей совершать ошибки.