Примеры решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про ы решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое ы решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Дифференциальные уравнения.

Пример N 1

Найти общее решение уравнения  . 

Решение.

Так как    , то уравнение имеет вид :    
Домножив все уравнение на dx, получим:    
Разделив все уравнение на    приходим к уравнению с разделяющимися переменными :   

Интегрируя, получим :

Ответ:   

Пример N 2

Найти общее решение уравнения  . 

Решение.

Уравнение является однородным, так как функция, стоящая в правой части, является однородной:

.

Сделаем подстановку:   

Преобразуем исходное уравнение:

Получили уравнение с разделяющимися переменными:    . Делим уравнение на   

Интегрируя почленно, получим:

Ответ:   

Пример N 3

Найти общее решение уравнения   y' + 3x² y + x² = 0 .

Решение.

Уравнение является линейным относительно функции у и ее производной y'. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Решение ищем в виде y = u · v , где u и v √ функции от х. Так как    то исходное уравнение примет вид:    или  . 

Функцию v находим из уравнения 3x²v + v' = 0, при этом исходное уравнение упрощается: u'v + x² = 0. Находим функцию v :

Функцию находим из уравнения   u'v + x² = 0  с    :

Ответ:   

Пример N 4

Решить задачу Коши:    y" + y = х,   y(0) = 1,   y'(0) = 1.

Решение.

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение является суммой y₀ - общего решения уравнения  y" + y = 0  и  y_* - частного решения данного уравнения.

1. Находим  y₀.  Для этого сначала найдем корни характеристического уравнения  k² + 1 = 0,  k = ±i . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:  .  
   
   
2. Находим  y_*.  Так как правая часть уравнения  f(x) = x  (α = 0 не является корнем характеристического уравнения, степень многочлена равна одному), то частное решение  y_*  ищем в виде:  y_* = (Ax + B).  Находим  y_*^' = A,  y_*^" = 0. Подставляя  y_* ,  y_*^',  y_*^"  в исходное уравнение, получаем  Ax + B = x .  Это уравнение удовлетворено при  A = 1,  B = 0. Следовательно, y_* = x. Таким образом,    - общее решение.

1. Определим  С₁  и  С₂  так, чтобы были выполнены начальные условия:

   
   

Подставляя найденные постоянные  С₁  и  С₂  в общее решение, получаем решение задачи Коши:   

Ответ:   

Пример N 5

Найти общее решение дифференциального уравнения:  . 

Решение.

Общее решение исходного уравнения, равного сумме общего решения однородного уравнения  y₀  и частного решения  y_* .

1. Найдем  y₀  . Находим корни характеристического уравнения:

   

2. Найдем  y_*  . Так как правая часть уравнения    , (α = 1 не является корнем характеристического уравнения, степень многочлена равна одному), то частное решение  y_*  ищем в виде:   
   Находим

   

   Подставляя  y_* ,  y_*^',  y_*^"  в исходное уравнение, получаем:

   

   Разделив на e^x , после приведения подобных получим:

   

   Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, составляем систему линейных алгебраических уравнений:

   

   найдя решение этой системы:

   

   записываем общее решение:

   

Ответ:   

Тебе нравиться ы решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое ы решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Дифференциальные уравнения

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про ы решения задач к разделу дифференциаоьные уравнения