Это продолжение увлекательной статьи про .

...

разных его положениях в пространстве скоростей, в общем случае, число частиц будет различным).

Таким образом,

Однако, выше было заявлено и обосновано, что в состоянии термодинамического равновесия распределение молекул по направлениям движения изотропное. На «языке» функции это означает, что она может зависеть только от модуля вектора скорости и не может зависеть от его направления.

Следовательно, во-первых,

Во- вторых, естественно предположить, что при достаточно малых величинах объема , число молекул в нем (число молекул с вектором скорости, принадлежащем этому объему) будет пропорционально его величине, то есть

Можно показать, что при стремлении объема в пространстве скоростей к нулю, написанное выше приближенное равенство переходит в точное. Введенная выше функция имеет простой смысл: это концентрация частиц в пространстве скоростей

В-третьих, представляется очевидным, что чем больше частиц в системе, тем «при прочих равных» будет больше частиц и в объеме и их концентрация . Поэтому естественно от концентрации частиц перейти к удельной величине не зависящей от полного числа частиц в системе

Эта функция зависит только от скорости и дает относительное количество (долю) молекул, имеющих скорость в единичном объеме в пространстве скоростей вблизи скорости с модулем . Эта функция называется функцией распределения молекул для вектора скорости. Если взять несколько порций одного и того же газа, находящихся в идентичных условиях (одинаковы р и Т), то распределение молекул по скоростям в них также будет идентично. Зная вид , можно найти количество молекул dN из общего числа молекул N, проекции вектора скорости которых одновременно принадлежат интервалам

Это число равно

,

или, при использовании сферических координат в пространстве скоростей,

Подчеркнем, что это распределение вероятностей для вектора скорости, то есть сразу для трех величин: либо для либо для , в зависимости от используемой в пространстве скоростей системы координат. Об этом говорит сайт https://intellect.icu .

Концентрация частиц в пространстве скоростей должна подчиняться условию, имеющему простой физический смысл: число молекул со всевозможными векторами скорости, которым соответствуют все возможные объемы , на которые можно разбить все пространство скоростей, должно быть равно полному числу частиц в системе. При переходе к пределу, то есть от к , суммирование превращается в интегрирование по всему пространству скоростей и мы имеем:

,

(3.10)

откуда следует условие нормировки функции распределения

.

Вычисление, написанного выше, нормировочного интеграла разумеется возможно при использовании любой системы координат в пространстве скоростей. Например, в декартовой системе

.

Однако, «грех» не воспользоваться фактом изотропности распределения молекул по направлениям движения, отражением которого является зависимость функции распределения только от модуля вектора скорости. В сферических координатах нормировочный интеграл имеет существенно проще, так как два из трех интегрирований можно провести в общем виде:

Функция распределения для газов была найдена теоретически Максвеллом (1859) и носит его имя. Далее мы установим ее вид.

Распределение Максвелла. Поскольку все направления движения молекул в пространстве равноправны, распределение скоростей должно быть изотропным и функция распределения n(v) не может зависеть от направления скорости. Это означает, что n(v) не может быть произвольной функцией от компонент скорости v_х, v_y, v_z, а должна зависеть лишь от абсолютной величины скорости

В зависимости от выбранной системы координат вероятность имеет различный вид.

В декартовой системе

(3.11)

В цилиндрической системе

(3.12)

В сферической системе

(3.13)

Далее предлагается простой, хотя и не вполне строгий вывод вида функции распределения. Рассмотрим процесс столкновения двух частиц, движущихся со скоростями v₁ и v₂. Пусть в результате соударения скорости молекул изменяются и превращаются в v_i и v₄. Число таких столкновений в единицу времени в единице объема газа должно быть пропорционально числу молекул со скоростями вблизи v₁ и v₂, то есть произведению n(v₁)·n(v₂). Рассмотрим далее процесс соударения, являющийся обратным данному. При этом скорости молекул изменяются от значений v₃ и v₄ до значений v₁ и v₂. Число таких соударений в единицу времени в объеме пропорционально количеству молекул со скоростями вблизи v₃ и v₄, то есть n(v₃)·n(v₄).

В силу предположения о молекулярном хаосе и предположения о том, что число молекул с данными значениями скорости не изменяется процессами молекулярных столкновений в газе, находящемся в стационарном состоянии, можно считать, что число молекул, у которых скорости изменяются от значений v₁ и v₂ до значений v₃ и v₄, равно числу молекул, у которых скорости изменяются от v₃ и v₄ до v₁ и v₂. Отсюда следует, что

(3.14)

Равенство (3.14) выражает баланс частиц, получающих и теряющих соответствующую скорость, причем в процессе таких упругих соударений энергия молекул сохраняется (m₀ — масса молекулы):

(3.15)

Равенства (3.10), (3.14) и (3.15) представляют совокупности условий, которым должна удовлетворять искомая функция распределения.

Используя (3.15), выразим v₄ через v₁, v₂, v₃:

(3.16)

Функциональные уравнения (3.14) и (3.16) легко превратить в простое дифференциальное уравнение. Взяв логарифм от (3.14), имеем

(3.17)

Продифференцируем (3.17) по аргументу v₁:

(3.18)

Аналогично

(3.19)

Учитывая выражение (3.16), находим

(3.20)

Подставляя (3.20) в правые части соотношений (3.18) и (3.19), приходим к равенству

(3.21)

При этом мы должны помнить, что это равенство справедливо при совершенно произвольных значениях v₁, v₂, которые являются независимыми переменными. Это значит, что равенство (3.21) должно иметь место при совершенно произвольных значениях скоростей, поэтому оно может быть выполнено только тогда, когда правая и левая части (3.21) равны некоторой постоянной (которую мы обозначим через ( –α)):

(3.22)

где переменная v может принимать значения v₁, v₂ или любое иное. Разделяя переменные, записываем (3.22) в виде

(3.23)

Интегрируя (3.23), находим

(3.24)

где А — постоянная интегрирования. Из физических соображений очевидно, что

Большие скорости молекул маловероятны. Поэтому коэффициент α > 0. Постоянная А определяется из условия нормировки (3.10):

(3.25)

Далее будет показано, что параметр α должен быть связан с абсолютной температурой T соотношением

(3.26)

С учетом (3.26) из (3.24) получим

(3.27)

Формула (3.27) и представляет собой искомое распределение молекул по скоростям.

Учитывая, что n(v) зависит только от модуля скорости, а их направления равновероятны, можно ввести функцию распределения f(v) молекул по абсолютной величине скорости. Для этого надо проинтегрировать выражение (3.13) по углам, что дает

(3.28)

Отсюда и из (3.27) следует выражение для функции распределения Максвелла для модуля вектора скорости f(v):

(3.29)

Величина f(v)dv есть вероятность найти частицу с модулем скорости, лежащим в интервале от v до v + dv. Условие нормировки распределения f(v) принимает теперь вид

продолжение следует...

Продолжение:

Часть 1 3. Распределение молекул по скоростям и координатам
Часть 2 3.3. Характерные скорости молекул - 3. Распределение молекул по скоростям
Часть 3 3.4. Распределение молекул по координатам - 3. Распределение молекул по
Часть 4 - 3. Распределение молекул по скоростям и координатам