Математический объект

Привет, Вы узнаете о том , что такое математический объект, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое математический объект , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Прикладная математика.

математический объект — это абстрактное понятие, возникающее в математике . Математи́ческий объе́кт — абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике (или в философии математики)

Примеры: число, множество, функция, треугольник, группа, куб, отношение порядка.

Как правило, математический объект может быть значением, которое может быть присвоено символу , и, следовательно, может быть включено в формулы . Обычно встречающиеся математические объекты включают числа , выражения , формы , функции и множества . Математические объекты могут быть очень сложными; например, теоремы , доказательства и даже теории рассматриваются как математические объекты в теории доказательств .

В философии математики понятие «математические объекты» затрагивает темы существования , идентичности и природы реальности . В метафизике объекты часто рассматриваются как сущности , обладающие свойствами и способные находиться в различных отношениях друг с другом. Философы спорят о том, существуют ли математические объекты независимо от человеческого мышления ( реализм ) или их существование зависит от ментальных конструкций или языка ( идеализм и номинализм ). Объекты могут варьироваться от конкретных : например, физические объекты, обычно изучаемые в прикладной математике , до абстрактных , изучаемых в чистой математике . То, что составляет «объект», является основополагающим для многих областей философии, от онтологии (изучения бытия) до эпистемологии (изучения знания). В математике объекты часто рассматриваются как сущности, которые существуют независимо от физического мира , что поднимает вопросы об их онтологическом статусе. Существуют различные школы мысли , которые предлагают разные точки зрения на этот вопрос, и многие известные математики и философы имеют разные мнения о том, какая из них более верна.

Слева направо, сверху вниз: тессеракт или четырехмерный гиперкуб, график бинарной функции , трилистник ( вид математического узла ) и общая иерархия наборов чисел

В современной математике приняты следующие соглашения:

1. При определении объекта задаются его название и перечень свойств (обычно в виде списка аксиом).
2. Любой математический объект, свойства которого непротиворечивы, считается допустимым и существующим.

Происхождение математических объектов может быть различным.

• Идеализация реального объекта, например: математический шар есть идеализация предмета круглой формы; математическая точка [в геометрии] — модель, или идеализация, очень маленьких тел (объектов), т. е. таких, размерами которых можно пренебречь (в условиях данной задачи).
• Обобщение или дополнение другого математического объекта, например: метрическое пространство можно рассматривать как обобщение евклидова пространства, а комплексные числа — как расширение системы вещественных чисел.
• Выделение из другого математического объекта части (подмножества), определяемой заданными свойствами, например: алгебраические числа есть подмножество комплексных чисел.

В прикладной математике главной задачей является создание адекватной математической модели исследуемого природного объекта. Модель представляет собой совокупность математических объектов, свойства и взаимосвязи которых должны отражать реальное поведение природного объекта .

Незаменимость Куайна-Патнэма — это аргумент в пользу существования математических объектов, основанный на их необоснованной эффективности в естественных науках . Каждая отрасль науки в значительной степени опирается на большие и часто совершенно разные области математики. От использования физикой гильбертовых пространств в квантовой механике и дифференциальной геометрии в общей теории относительности до использования биологией теории хаоса и комбинаторики (см. математическую биологию ), математика не только помогает с предсказаниями , она позволяет этим областям иметь элегантный язык для выражения этих идей. Более того, трудно представить, как такие области, как квантовая механика и общая теория относительности, могли бы развиваться без их помощи со стороны математики, и поэтому можно утверждать, что математика незаменима для этих теорий. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Именно из-за этой необоснованной эффективности и незаменимости математики философы Уиллард Куайн и Хилари Патнэм утверждают, что мы должны верить, что математические объекты, от которых зависят эти теории, действительно существуют, то есть мы должны иметь онтологическую приверженность им. Аргумент описывается следующим силлогизмом :

( Предположение 1) Мы должны иметь онтологическую приверженность всем и только тем сущностям, которые необходимы для наших лучших научных теорий.

(Предположение 2) Математические сущности незаменимы для наших лучших научных теорий.

( Заключение ) Мы должны иметь онтологическую приверженность математическим сущностям.

Этот аргумент перекликается с философией прикладной математики, называемой натурализмом (или иногда предикативизмом) , которая утверждает, что единственными авторитетными стандартами существования являются стандарты науки .

Платон, изображенный на картине Рафаэля Санти «Афинская школа».

Платонизм утверждает, что математические объекты рассматриваются как реальные, абстрактные сущности , которые существуют независимо от человеческой мысли , часто в некоторой платоновской сфере . Так же, как существуют физические объекты , такие как электроны и планеты , так же существуют числа и множества. И так же, как утверждения об электронах и планетах являются истинными или ложными, поскольку эти объекты содержат совершенно объективные свойства , так же существуют утверждения о числах и множествах. Математики открывают эти объекты, а не изобретают их.(Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!: Математический платонизм )

Некоторые известные платоники включают в себя:

• Платон : древнегреческий философ , который, хотя и не был математиком, заложил основы платонизма, постулировав существование абстрактного царства совершенных форм или идей, что оказало влияние на более поздних мыслителей-математиков.
• Курт Гедель : логик и математик 20-го века, Гедель был ярым сторонником математического платонизма, и его работа в области теории моделей оказала большое влияние на современный платонизм.
• Роджер Пенроуз : Современный математик и физик , Пенроуз отстаивал платоновский взгляд на математику, предполагая, что математические истины существуют в сфере абстрактной реальности, которую мы открываем.

Номинализм отрицает независимое существование математических объектов. Вместо этого он предполагает, что они являются просто удобными выдумками или сокращениями для описания отношений и структур в нашем языке и теориях. Согласно этой точке зрения, математические объекты не существуют за пределами символов и понятий, которые мы используем.

Некоторые известные номиналисты включают в себя:

• Нельсон Гудман : Философ, известный своими работами в области философии науки и номинализма. Он выступал против существования абстрактных объектов, предполагая вместо этого, что математические объекты являются всего лишь продуктом наших языковых и символических соглашений.
• Хартри Филд : Современный философ , разработавший форму номинализма, называемую « фикционализмом », которая утверждает, что математические утверждения являются полезными вымыслами, которые не соответствуют никаким реальным абстрактным объектам.

Логицизм утверждает, что все математические истины могут быть сведены к логическим истинам , и все объекты , составляющие предмет этих разделов математики, являются логическими объектами. Другими словами, математика по сути является разделом логики , и все математические концепции, теоремы и истины могут быть выведены из чисто логических принципов и определений. Логицизм столкнулся с проблемами, особенно с аксиомами Рассила, аксиомой мультипликативности (теперь называемой аксиомой выбора ) и его аксиомой бесконечности , а позднее с открытием теорем Геделя о неполноте , которые показали, что любая достаточно мощная формальная система (вроде тех, которые используются для выражения арифметики ) не может быть одновременно полной и последовательной . Это означало, что не все математические истины могли быть выведены исключительно из логической системы , что подрывало программу логицизма.

Некоторые известные логики включают в себя:

• Готтлоб Фреге : Фреге часто считают основателем логицизма. В своей работе Grundgesetze der Arithmetik (Основные законы арифметики ) Фреге попытался показать, что арифметика может быть выведена из логических аксиом. Он разработал формальную систему, которая была направлена ​​на выражение всей арифметики в терминах логики. Работа Фреге заложила основу для большей части современной логики и была очень влиятельной, хотя она столкнулась с трудностями, наиболее заметными из которых были парадокс Рассела , который выявил несоответствия в системе Фреге.
• Бертран Рассел : Рассел, вместе с Альфредом Норт Уайтхедом , развил логицизм в своей монументальной работе Principia Mathematica . Они попытались вывести всю математику из набора логических аксиом , используя теорию типов , чтобы избежать парадоксов, с которыми столкнулась система Фреге. Хотя Principia Mathematica оказала огромное влияние , попытка свести всю математику к логике в конечном итоге была расценена как неполная. Однако она продвинула развитие математической логики и аналитической философии .

Математический формализм рассматривает объекты как символы в формальной системе . Основное внимание уделяется манипулированию этими символами в соответствии с заданными правилами, а не самим объектам. Одно общее понимание формализма рассматривает математику не как совокупность предложений, представляющих абстрактную часть реальности, а как нечто, гораздо более похожее на игру, не приносящее с собой больше онтологических обязательств объектов или свойств, чем игра в лудо или шахматы . С этой точки зрения математика касается согласованности формальных систем , а не открытия уже существующих объектов. Некоторые философы считают логицизм разновидностью формализма.

Некоторые известные формалисты включают в себя:

• Дэвид Гильберт : Ведущий математик начала 20-го века, Гильберт является одним из самых выдающихся сторонников формализма. Он считал, что математика — это система формальных правил и что ее истина заключается в последовательности этих правил, а не в какой-либо связи с абстрактной реальностью.
• Герман Вейль : немецкий математик и философ, который, хотя и не был строгим формалистом, внес вклад в формалистические идеи, особенно в своей работе по основаниям математики.

Математический конструктивизм утверждает, что необходимо найти (или «построить») конкретный пример математического объекта, чтобы доказать, что пример существует. Напротив, в классической математике можно доказать существование математического объекта, не «находя» этот объект явно, предполагая его несуществование и затем выводя противоречие из этого предположения. Такое доказательство от противного можно назвать неконструктивным, и конструктивист может его отвергнуть. Конструктивная точка зрения включает в себя проверочную интерпретацию квантора существования , которая противоречит его классической интерпретации. Существует много форм конструктивизма.К ним относятся программа интуиционизма, основанная Брауэром , финитизм Гильберта и Бернайса , конструктивная рекурсивная математика математиков Шанина и Маркова и программа конструктивного анализа Бишопа . Конструктивизм также включает в себя изучение конструктивных теорий множеств, таких как конструктивная теория Цермело–Френкеля, а также изучение философии.

Структурализм предполагает, что математические объекты определяются их местом в структуре или системе. Природа числа, например, не связана с какой-либо конкретной вещью, а с его ролью в системе арифметики . В некотором смысле, тезис заключается в том, что математические объекты (если такие объекты существуют) просто не имеют внутренней природы

Некоторые известные структуралисты включают в себя:

• Пол Бенасерраф : философ, известный своими работами в области философии математики, в частности, своей работой «Чем не могли быть числа », в которой обосновывается структуралистский взгляд на математические объекты.
• Стюарт Шапиро : Еще один выдающийся философ, который развивал и защищал структурализм, особенно в своей книге « Философия математики: структура и онтология » .

В математике карта или отображение — это функция в общем смысле; здесь это как ассоциация любой из четырех цветных фигур в X с ее цветом в Y.

Фреге провел знаменитое различие между функциями и объектами . Согласно его взгляду, функция — это своего рода «неполная» сущность , которая отображает аргументы в значения и обозначается неполным выражением, тогда как объект — это «полная» сущность и может быть обозначена единичным термином. Фреге свел свойства и отношения к функциям, и поэтому эти сущности не включены в число объектов. Некоторые авторы используют понятие «объекта» Фреге при обсуждении абстрактных объектов. Но хотя понимание «объекта» Фреге важно, это не единственный способ использования этого термина. Другие философы включают свойства и отношения в число абстрактных объектов. И когда фоновым контекстом для обсуждения объектов является теория типов , свойства и отношения более высокого типа (например, свойства свойств и свойства отношений) могут все считаться «объектами». Это последнее использование «объекта» взаимозаменяемо с «сущностью». Именно эту более широкую интерпретацию имеют в виду математики, когда используют термин «объект».

• Абстрактный объект
• Исключительный объект
• Невозможный объект
• Список математических объектов
• Список математических фигур
• Список фигур
• Список поверхностей
• Список двумерных геометрических фигур
• Математическая структура

Исследование, описанное в статье про математический объект, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое математический объект и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Прикладная математика

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.