Разбиение числа в комбинаторике кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое разбиение числа, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое разбиение числа, разбиением числа, диаграммы юнга, диаграмма юнга, пентагональная теорема , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

разбиение числа — это представление в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений натурального числа является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Примеры

Например, {3, 1, 1} или {3, 2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует разбиений числа 5:

{1, 1, 1, 1, 1},

{2, 1, 1, 1},

{2, 2, 1},

{3, 1, 1},

{3, 2},

{4, 1},

{5}.

Некоторые значения числа разбиений приведены в следующей таблице :

Число разбиений

Производящая функция

Последовательность числа разбиений имеет следующую производящую функцию:

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

пентагональная теорема Эйлера

Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на ее знаменателе, то есть, на произведении . Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

Показатели степеней в правой части — числа вида где — целое число, а знак при } равен . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для натуральных : — это пятиугольные числа.[2]

Согласно этому наблюдению, Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

.

Впоследствии эта теорема была доказана Эйлером. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном в 1918 году и независимо от них российским математиком Успенским в 1920 году

при

Это выражение дает, например, .

Впоследствии Харди и Рамануджан нашли более точное выражение в виде суммы, и, наконец, Радемахер нашел для асимптотического представления числа разбиений сходящийся ряд.

где

Здесь суммирование ведется по , взаимно простым с , а — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы

Количество разбиений числа на слагаемые, не превышающие , удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

для всех

При этом количество всевозможных разбиений числа равно .

диаграммы юнга

диаграмма юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга[en]. Диаграмма Юнга разбиения — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину , над ней расположена строка длиной , и т. д. до -й строки длины . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек таких, что

и

где обозначает целую часть .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отраженными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что

• вместо ячеек изображаются точки;
• диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

Применение

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Композиция
• Биномиальный коэффициент
• Теорема Хаусдорфа

Исследование, описанное в статье про разбиение числа, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое разбиение числа, разбиением числа, диаграммы юнга, диаграмма юнга, пентагональная теорема и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.