Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Производящая функция последовательности (генератриса) кратко

Лекция



Привет, сегодня поговорим про производящая функция последовательности, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое производящая функция последовательности, генератриса , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Производящая функция (или генератриса ) последовательности

Производящая функция последовательности (генератриса) — это формальный степенной ряд

Производящая функция последовательности (генератриса).

Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда

Производящая функция последовательности (генератриса) и Производящая функция последовательности (генератриса)

имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.

Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.

Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

Производящая функция последовательности (генератриса)

Свойства генератрисы

  • Производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих производящих функций.
  • Произведение производящих функций Производящая функция последовательности (генератриса) и Производящая функция последовательности (генератриса) последовательностей Производящая функция последовательности (генератриса) и Производящая функция последовательности (генератриса) является производящей функцией свертки Производящая функция последовательности (генератриса) этих последовательностей:

Производящая функция последовательности (генератриса)

Примеры использования

В комбинаторике

Пусть Производящая функция последовательности (генератриса) — это количество композиций неотрицательного целого числа n длины m, то есть, представлений n в виде Производящая функция последовательности (генератриса), где Производящая функция последовательности (генератриса) — неотрицательные целые числа. Число Производящая функция последовательности (генератриса) также является числом сочетаний с повторениями из m по n, то есть, количество выборок n возможно повторяющих элементов из множества Производящая функция последовательности (генератриса) (при этом каждый член Производящая функция последовательности (генератриса) в композиции можно трактовать как количество элементов i в выборке).

При фиксированном m производящей функцией последовательности Производящая функция последовательности (генератриса) является:

Производящая функция последовательности (генератриса)

Поэтому число Производящая функция последовательности (генератриса) может быть найдено как коэффициент при Производящая функция последовательности (генератриса) в разложении Производящая функция последовательности (генератриса) по степеням x. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этого можно воспользоваться определениембиномиальных коэффициентов или же непосредственно взять n раз производную в нуле:

Производящая функция последовательности (генератриса)

Генератриса чисел Белла має вигляд

Производящая функция последовательности (генератриса).

В теории вероятностей

  • Если Производящая функция последовательности (генератриса) — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

Производящая функция последовательности (генератриса)

то ее математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности Производящая функция последовательности (генератриса)

Производящая функция последовательности (генератриса)

как значение первой производной в единице: Производящая функция последовательности (генератриса) (стоит отметить, что ряд для P(s) сходится, по крайней мере, при Производящая функция последовательности (генератриса)). Действительно,

Производящая функция последовательности (генератриса)

При подстановке Производящая функция последовательности (генератриса) получим величину Производящая функция последовательности (генератриса), которая по определению является математическим ожиданием дискретной случайной величины. Если этот ряд расходится, то Производящая функция последовательности (генератриса) -- а Производящая функция последовательности (генератриса) имеет бесконечное математическое ожидание, Производящая функция последовательности (генератриса)

  • Теперь возьмем производящую функцию Производящая функция последовательности (генератриса) последовательности «хвостов» распределения Производящая функция последовательности (генератриса)

Производящая функция последовательности (генератриса)

Эта производящая функция связана с определенной ранее функцией Производящая функция последовательности (генератриса) свойством: Производящая функция последовательности (генератриса) при Производящая функция последовательности (генератриса). Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Производящая функция последовательности (генератриса)

  • Диференцируя Производящая функция последовательности (генератриса) и используя соотношение Производящая функция последовательности (генератриса), получим:

Производящая функция последовательности (генератриса)

Чтобы получить дисперсию Производящая функция последовательности (генератриса), к этому выражению надо прибавить Производящая функция последовательности (генератриса), что приводит к следующим формулам для вычисления дисперсии:

Производящая функция последовательности (генератриса).

В случае бесконечной дисперсии Производящая функция последовательности (генератриса).

Вариации и обобщения

Экспоненциальная производящая функция

Экспоненциальная производящая функция последовательности Производящая функция последовательности (генератриса) — это формальный степенной ряд

  • Производящая функция последовательности (генератриса).

    • Если Производящая функция последовательности (генератриса) и Производящая функция последовательности (генератриса) — экспоненциальные производящие функции последовательностей Производящая функция последовательности (генератриса) и Производящая функция последовательности (генератриса), то их произведение Производящая функция последовательности (генератриса) является экспоненциальной производящей функцией последовательности Производящая функция последовательности (генератриса).

Cм. также

Надеюсь, эта статья про производящая функция последовательности, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое производящая функция последовательности, генератриса и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про производящая функция последовательности
создано: 2014-12-31
обновлено: 2021-12-26
132595



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Термины: Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ