Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про стохастические дифференциальные уравнения, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое стохастические дифференциальные уравнения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.
. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных решениях.
Стохастическое дифференциальное уравнение ( СДУ ) представляет собой дифференциальное уравнение , в котором один или более из условий является случайным процессом , в результате чего в растворе , который также является случайным процессом. SDE используются для моделирования различных явлений, таких как нестабильные цены на акции или физические системы, подверженные тепловым колебаниям . Обычно SDE содержат переменную, которая представляет собой случайный белый шум, вычисляемый как производную от броуновского движения или винеровского процесса . Однако возможны и другие типы случайного поведения, например процессы перехода . Случайные дифференциальные уравнения сопряжены со стохастическими дифференциальными уравнениями.
стохастические дифференциальные уравнения возникли в теории броуновского движения в работах Альберта Эйнштейна и Смолуховского . Эти ранние примеры были линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, также называемыми уравнениями «Ланжевена» в честь французского физика Ланжевена , описывающими движение гармонического осциллятора, подверженного действию случайной силы. Математическая теория стохастических дифференциальных уравнений была разработана в 1940-х годах благодаря новаторской работе японского математика Киеси Ито , который ввел понятие стохастического интеграла и положил начало изучению нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Другой подход был позже предложен русским физиком Стратоновичем , что привело к исчислению, аналогичному обычному исчислению.
Принято различать два типа решений стохастических дифференциальных уравнений: сильные и слабые решения.
Условия, налагаемые в работах Скорохода, Струка и Варадана, Крылова, были значительно слабее, чем условия Ито. Возникла некоторая неясность относительно того, как следует понимать решение. А.Н. Ширяевым и М.П. Ершовым были введены понятия сильного и слабого решения. Соответствующие определения содержатся в книге Р.Ш. Липцера и А.Н. Ширяева [14]. Согласно этой терминологии, решение, построенное Ито, является сильным решением, в то время как решения, построенные в более поздних работах (и при более слабых предположениях), являются слабыми. Исследованию взаимосвязи между сильными и слабыми решениями посвящена статья А.К. Звонкина и Н.В. Крылова
чтобы теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений охватывала решения, аналогичные скользящим режимам для обыкновенных дифференциальных уравнений, например движения по поверхности, на которой коэффициент сноса f разрывен, а коэффициент диффузии g равен нулю, необходимо переходить, так же как
идля обыкновенных дифференциальных уравнений, к соответствующим стохастическим дифференциальным включениям. Так как получение именно скользящих режимов часто является целью управления, поскольку они слабо зависят от внешних воздействий, то доказательство теорем существования таких решений важная задача. Вопросам существования решений различных типов стохастических дифференциальных уравнений уделено большое внимание в книге.
Слабые решения используются при изучении тех свойств уравнений, которые связаны с мерой в пространстве траекторий, таких, как устойчивость процессов, вероятностное представление решений и т. д. Но если необходимо рассматривать конкретное свойство траекторий, например в теории управления диффузионными процессами, в теории фильтрации, тогда рассматривают сильные решения. При доказательстве теорем существования сильных решений важную роль играет принцип Ямады Ватанабэ: из существования слабых решений и потраекторной единственности следует сильное существование. Отметим, что принцип применим в различных ситуациях: для стохастических дифференциальных уравнений, для стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы, для стохастических дифференциальных включений. Проблему существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений можно описать следующим образом. Есть уравнения, у которых нет слабых решений. Существуют уравнения, у которых имеются слабые решения на некотором вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением, в то время как на других вероятностных пространствах с другими броуновскими движениями решений может и не быть. Если имеет место потраекторная единственность и уравнение обладает свойством слабого существования, то на любом вероятностном пространстве с любым броуновским движением существует единственное решение, и оно является сильным.
Наиболее распространенная форма СДУ в литературе - это обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, возмущенной членом, зависящим от переменной белого шума . В большинстве случаев СДУ понимаются как непрерывный временной предел соответствующих стохастических разностных уравнений . Такое понимание СДУ неоднозначно и должно быть дополнено правильным математическим определением соответствующего интеграла. Такое математическое определение было впервые предложено Киеси Ито в 1940-х годах, что привело к тому, что сегодня известно как исчисление Ито . Позже российский физик Стратонович предложил другую конструкцию , которая привела к так называемому интегралу Стратоновича . Интеграл Ито и интеграл Стратоновича связаны между собой , но разные, объекты и выбор между ними зависит от применения рассмотренного. Ито Исчисление основано на концепции не-anticipativeness или причинности, что естественно в приложениях , где переменное время. В исчислении Стратоновича, с другой стороны, есть правила, которые напоминают обычное исчисление, и есть внутренние геометрические свойства, которые делают его более естественным при решении геометрических задач, таких как случайное движение на многообразиях .
Альтернативный взгляд на СДУ - стохастический поток диффеоморфизмов. Это понимание однозначно и соответствует версии Стратоновича о непрерывном временном пределе стохастических разностных уравнений. С SDE связано уравнение Смолуховского или уравнение Фоккера – Планка, уравнение , описывающее временную эволюцию функций распределения вероятностей . Обобщение эволюции Фоккера – Планка на временную эволюцию дифференциальных форм обеспечивается концепцией оператора стохастической эволюции .
В физической науке употребление термина «СДУ Ланжевена» неоднозначно . Хотя SDE Ланжевена могут иметь более общую форму , этот термин обычно относится к узкому классу SDE с векторными полями градиентного потока. Этот класс СДУ особенно популярен, потому что он является отправной точкой процедуры стохастического квантования Паризи – Сурласа, ведущей к суперсимметричной модели N = 2, тесно связанной с суперсимметричной квантовой механикой . Однако с физической точки зрения этот класс СДУ не очень интересен, потому что он никогда не демонстрирует спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, т. Е. (Сверхзатухающие) СДУ Ланжевена никогда не бывают хаотическими .
Броуновское движение, или винеровский процесс, оказалось исключительно сложным математически. Процесс Wiener почти наверняка нигде не дифференцируемы; таким образом, он требует своих собственных правил расчета. Есть две доминирующие версии стохастического исчисления, в стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича . У каждого из них есть свои преимущества и недостатки, и новички часто не понимают, подходит ли один из них больше, чем другой в данной ситуации. Существуют руководящие принципы (например, Øksendal, 2003), и для удобства можно легко преобразовать SDE Ито в эквивалентную SDE Стратоновича и обратно. Тем не менее, нужно быть осторожным, какое исчисление использовать при первоначальной записи SDE.
Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений включают метод Эйлера-Maruyama , метод Milstein и метод Рунге-Кутта (SDE) .
В физике СДУ имеют самое широкое применение - от молекулярной динамики до нейродинамики и динамики астрофизических объектов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В частности, СДУ описывают все динамические системы, в которых квантовые эффекты либо не важны, либо могут быть учтены как возмущения. СДУ можно рассматривать как обобщение теории динамических систем на модели с шумом. Это важное обобщение, поскольку реальные системы не могут быть полностью изолированы от окружающей среды и по этой причине всегда испытывают внешнее стохастическое влияние.
Существуют стандартные методы преобразования уравнений высшего порядка в несколько связанных уравнений первого порядка путем введения новых неизвестных. Таким образом, наиболее общий класс SDE:
где - положение в системе в ее фазовом пространстве (или пространстве состояний) , предполагаемое как дифференцируемое многообразие, - векторное поле потока, представляющее детерминированный закон эволюции, и - набор векторных полей, которые определяют связь системы для гауссовского белого шума, . Если это линейное пространство и являются константами, говорят, что система подвержена аддитивному шуму, иначе говорят, что она подвержена мультипликативному шуму. Этот термин несколько вводит в заблуждение, поскольку он стал означать общий случай, хотя он, кажется, подразумевает ограниченный случай, в котором . 
Для фиксированной конфигурации шума SDE имеет уникальное решение, дифференцируемое по начальному условию. Нетривиальность стохастического случая проявляется, когда кто-то пытается усреднить различные интересующие объекты по шумовым конфигурациям. В этом смысле SDE не является однозначно определенным объектом, когда шум является мультипликативным и когда SDE понимается как непрерывный временной предел стохастического разностного уравнения . В этом случае SDE должно быть дополнено так называемыми «интерпретациями SDE», такими как интерпретации SDE Ито или Стратоновича. Тем не менее, когда СДУ рассматривается как стохастический поток диффеоморфизмов с непрерывным временем, это однозначно определенный математический объект, который соответствует подходу Стратоновича к непрерывному временному пределу стохастического разностного уравнения.
В физике основным методом решения является нахождение функции распределения вероятностей как функции времени с использованием эквивалентного уравнения Фоккера – Планка (FPE). Уравнение Фоккера – Планка является детерминированным уравнением в частных производных . Он сообщает, как функция распределения вероятностей эволюционирует во времени, подобно тому, как уравнение Шредингера дает временную эволюцию квантовой волновой функции или уравнение диффузии дает временную эволюцию химической концентрации. В качестве альтернативы численные решения могут быть получены с помощью моделирования Монте-Карло . Другие методы включают интегрирование по траекториям , основанное на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка может быть преобразовано в уравнение Шредингера путем изменения масштаба нескольких переменных) или путем записи обычных дифференциальных уравнений для статистических моментов. функции распределения вероятностей.
Обозначения, используемые в теории вероятностей (и во многих приложениях теории вероятностей, например, в финансовой математике ), немного отличаются. Это также обозначение, используемое в публикациях по численным методам решения стохастических дифференциальных уравнений. Это обозначение делает более явным экзотический характер случайной функции времени в формулировке физики. В строгих математических терминах не может быть выбрана как обычная функция, а только как обобщенная функция . Математическая формулировка трактует это осложнение с меньшей двусмысленностью, чем формулировка физики. 
Типичное уравнение имеет вид
где обозначает винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Это уравнение следует интерпретировать как неформальный способ выражения соответствующего интегрального уравнения
Выше уравнение характеризует поведение непрерывного времени случайного процесса X т в виде суммы обычного интеграла Лебега и интеграла Ито . Эвристическое (но очень полезно) интерпретация стохастического дифференциального уравнения является то , что в небольшом временном интервале длины б стохастического процесса X т изменяет свое значение на величину, которая обычно распространяется с ожиданием ц ( X т , т ) б и дисперсии σ ( X t , t ) 2 δ и не зависит от поведения процесса в прошлом. Это так, потому что приращения винеровского процесса независимы и нормально распределены. Функция μ называется коэффициентом сноса, а σ - коэффициентом диффузии. Случайный процесс X t называется диффузионным и удовлетворяет марковскому свойству .
Формальная интерпретация SDE дается с точки зрения того, что составляет решение SDE. Есть два основных определения решения SDE: сильное решение и слабое решение. Оба требуют существования процесса X t, который решает версию интегрального уравнения SDE. Разница между ними заключается в лежащем в основе вероятностном пространстве ( ). Слабое решение состоит из вероятностного пространства и процесса, удовлетворяющего интегральному уравнению, а сильное решение - это процесс, который удовлетворяет уравнению и определен на заданном вероятностном пространстве. 
Важным примером является уравнение геометрического броуновского движения
которое является уравнением динамики цены акции в модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза в финансовой математике.
Существуют также более общие стохастические дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты μ и σ зависят не только от текущего значения процесса X t , но также от предыдущих значений процесса и, возможно, от текущих или предыдущих значений других процессов. В этом случае процесс решения X не является марковским и называется процессом Ито, а не диффузионным процессом. Когда коэффициенты зависят только от настоящих и прошлых значений X , определяющее уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением с запаздыванием.
Как и в случае с детерминированными обыкновенными уравнениями и уравнениями в частных производных, важно знать, имеет ли данное СДУ решение и является ли оно уникальным. Ниже приводится типичная теорема существования и единственности для СДУ Ито, принимающих значения в n - мерном евклидовом пространстве R n и приводимых m - мерным броуновским движением B ; доказательство можно найти в Øksendal (2003, §5.2).
Пусть T > 0 и пусть
- измеримые функции, для которых существуют такие константы C и D , что
для всех t ∈ [0, T ] и всех x и y ∈ R n , где
Пусть Z - случайная величина, которая не зависит от σ- алгебры, порожденной B s , s ≥ 0, и с конечным вторым моментом :
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение / начальная задача
имеет P- почти наверное уникальный т -непрерывное решения ( т , ω ) ↦ Х т ( ω ) такое , что Х является адаптирован к фильтрации F т Z , порожденной Z и B s , s ≤ т и
где
для данной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича 
который имеет общее решение
где
для данной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича
который сводится к
где где определено, как и раньше. Его общее решение: 
В суперсимметричной теории СДУ стохастическая динамика определяется через оператор стохастической эволюции, действующий на дифференциальные формы на фазовом пространстве модели. В этой точной формулировке стохастической динамики все СДУ обладают топологической суперсимметрией, которая представляет сохранение непрерывности фазового пространства посредством непрерывного потока времени. Спонтанное нарушение этой суперсимметрии является математической сущностью вездесущего динамического явления, известного в разных дисциплинах как хаос , турбулентность , самоорганизованная критичность и т. Д., И теорема Голдстоуна объясняет связанное с ним динамическое поведение на больших расстояниях, то есть эффект бабочки , 1 / е и хрустящие шумы, и безмасштабное статистика землетрясений, neuroavalanches, солнечных вспышек и т.д. теория также предлагает разрешение дилеммы Ито-Стратоновича в пользу Стратоновича подхода.
Я хотел бы услышать твое мнение про стохастические дифференциальные уравнения Надеюсь, что теперь ты понял что такое стохастические дифференциальные уравнения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы
Комментарии
Оставить комментарий
вероятностные процессы
Термины: вероятностные процессы