5.1.1. Определение ряда в математике. числовые, функциональные и матричные

Примеры числовх рядов

Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем :

Частичная сумма Предел этого выражения это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, при получается ряд, сумма которого равна 2:

Десятичную дробь с бесконечной дробной частью можно рассматривать как сумму ряда ; например, число есть сумма следующего ряда:

Более сложным примером является ряд обратных квадратов, сумму которого лучшие математики Европы не могли найти более 100 лет:

Ряд расходится, сумма его бесконечна. Расходится и гармонический ряд: «Ряд Гранди» расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет.

Классификация рядов

Положительный ряд — вещественный ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна .

Знакочередующийся ряд — вещественный ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. Для таких рядов существует простой признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся вариант приведенного выше гармонического ряда, в отличие от последнего, сходится :

Абсолютная и условная сходимость

Говорят, что вещественный или комплексный ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей (абсолютных величин) его членов:

Абсолютно сходящийся ряд сходится и в обычном смысле этого понятия. При этом всякий такой ряд обладает важным свойством переместительности: при любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд с той же суммой. В частности, у положительных сходящихся рядов можно как угодно переставлять члены ряда, на сходимость и на сумму это не влияет.

Если числовой ряд сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся. Пример:

Сам ряд сходится, но ряд его абсолютных величин (гармонический ряд) расходится.

Свойства условно сходящихся рядов.

• Если ряд сходится условно, то как ряд из его положительных членов, так и ряд из его отрицательных членов расходятся.
  • Следствие (критерий абсолютной сходимости): ряд из вещественных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся как ряд из положительных его членов, так и ряд из отрицательных членов.
• (теорема Римана): Перестановкой членов условно-сходящегося ряда можно получить ряд с любой заданной вещественной суммой.

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

• Их суммой называется ряд разностью — ряд

Если оба ряда сходятся к и соответственно, то их сумма и разность также сходятся. Сумма сходящегося и расходящегося рядов всегда расходится^[11]:

,

Если оба ряда сходятся абсолютно, то сумма и разность этих рядов также сходятся абсолютно.

• Их произведением Коши называется ряд , где:

Если хотя бы один из исходных рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным — у гармонического ряда, например, общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится.

Сходящиеся ряды

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2 (ассоциативный закон). В сходящемся ряде можно произвольно объединять соседние члены в группы без нарушения их порядка.

Этим свойством можно воспользоваться для доказательства расходимости ряда: если после указанной группировки получается расходящийся ряд, то и исходный ряд также расходится.

Нерешенные проблемы

До сих пор неизвестно, сходится ли «ряд Флинт Хиллз» (Flint Hills Series)^[16]:

Если удастся доказать, что этот ряд сходится, то как следствие получится важный факт: мера иррациональности числа меньше, чем 2,5.

Известно, что сумма ряда обратных квадратов и суммы других рядов с обратными четными степенями выражаются через степени числа но мало что известно про сумму обратных кубов («константу Апери»):

.

Никто пока не сумел связать это значение с классическими константами или элементарными функциями.

Ряды с нечисловыми членами

Понятие бесконечного ряда и его суммы можно ввести не только для чисел, но и для других математических объектов, для которых определены сложение и понятие близости, позволяющее определить предел. Например, в анализе широко используются ряды из функций: степенные ряды, ряды Фурье, ряды Лорана. Членами ряда могут быть также векторы, матрицы и др.

Общее определение

Ряд (или бесконечная сумма) в математике — последовательность элементов (членов данного ряда) некоторого топологического векторного пространства, рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах). Если для последовательности частичных сумм определен предел: то значение называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся).

Ряды всегда можно почленно складывать или вычитать, причем сумма и разность сходящихся рядов также сходятся. Если члены рядов берутся из кольца или поля, то ряды сами образуют кольцо относительно сложения и произведения Коши.

функциональные ряды

Определение и свойства

Ряд называется функциональным, если все его члены — функции, определенные на некотором множестве:

краткая запись:

Частичные суммы в этом случае также являются функциями, заданными на том же множестве. Ряд называется сходящимся на множестве , если при любом фиксированном сходится числовой ряд :

Множество называется областью сходимости ряда. Сумма ряда, очевидно, также является функцией на

Пример — разложение в ряд рациональной дроби:

Этот ряд сходится в интервале .

Среди основных типов функциональных рядов:

• степенные ряды (в частности, ряды Тейлора);
• тригонометрические ряды; в частности, ряды Фурье;
• ряды Лорана.

Кроме определенной выше «поточечной» сходимости, в разных пространствах могут быть использованы и другие нормы близости, от которых зависит существование предела частичных сумм. Например, можно определить «чебышевскую норму»^[19].

Равномерная сходимость

Вообще говоря, свойства суммы могут отличаться от свойств членов ряда — например, сумма ряда непрерывных функций может не быть непрерывной^[20].

Говорят, что сходящийся на множестве функциональный ряд равномерно сходится (на этом множестве)^[21], если последовательность частичных сумм ряда равномерно сходится на .

Существуют несколько признаков, позволяющих убедиться в равномерной сходимости ряда^[21]:

• Признак Вейерштрасса
• Признак Абеля
• Признак Дирихле

Важность понятия равномерной сходимости ряда показывают следующие теоремы (все функции считаются вещественными).

• Сумма ряда из функций, непрерывных в некоторой точке , будет и сама непрерывна в этой точке при условии, что функциональный ряд в точке сходится равномерно. В частности, сумма равномерно сходящегося ряда вещественных функций, непрерывных на отрезке также будет непрерывна на этом отрезке^[22].
• Если функции непрерывно дифференцируемы на отрезке и оба ряда:

сходятся на , причем ряд производных сходится равномерно, то сумма ряда имеет производную, и дифференцировать ряд можно почленно^[23]:

• Если функции непрерывны на отрезке и ряд сходится на равномерно к функции то интегрировать ряд можно почленно^[24]:

Условие равномерной сходимости гарантирует, что ряд справа сходится.

• Если функции интегрируемы по Риману на отрезке и ряд сходится на равномерно к функции то сумма ряда также будет интегрируема по Риману^[24].

Пример неравномерно сходящегося степенного ряда — геометрическая прогрессия В промежутке она сходится к функции но не равномерно (о чем свидетельствует бесконечный скачок суммы при приближении к 1).

Ряды матриц

В кольце числовых квадратных матриц фиксированного порядка назовем -окрестностью матрицы множество матриц, все компоненты которых отличаются от соответствующих компонент меньше, чем на Опираясь на такую топологию, предел последовательности матриц определяется покомпонентно^[26], то есть матрица является пределом последовательности матриц , если каждая ее компонента является пределом соответствующей последовательности

Теперь можно определить по общим правилам ряды из числовых матриц, понятие сходимости ряда (в том числе абсолютной сходимости) и суммы сходящегося ряда. Другими словами, ряд матриц порядка сходится, если сходятся рядов его компонент, и суммой будет матрица, содержащая соответствующие пределы этих рядов^[26].

Степенной ряд для матриц имеет вид^[26]:

где — заданные числовые коэффициенты, — единичная матрица, — матрица неизвестных. Этот ряд равносилен системе из числовых рядов. Для оценки его сходимости составим обычный степенной ряд из комплексных чисел:

Пусть радиус сходимости этого ряда равен Тогда верны следующие теоремы^[26]:

• Матричный степенной ряд абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в - окрестности нулевой матрицы, где
• Если матричный степенной ряд сходится в области где — матрица с положительными компонентами, — матрица модулей неизвестных, то он в этой области сходится абсолютно.

Пример степенного ряда из матриц см. в статье Экспонента матрицы. С помощью рядов можно определить стандартные функции для квадратных матриц (например, синус).

Понятие о рядах динамики

Важное место в статистике занимает описание изменений показателей во времени или в динамике. Ряд динамики образуется в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения.

Итак, ряд динамики — это числовые значения статистических показателей, изменяющихся во времени и расположенных в хронологической последовательности.

Ряд динамики включает два обязательных элемента:

• 1) период времени, за который или по состоянию на который приводятся цифровые значения (показатель времени /);
• 2) конкретные числовые значения показателя, характеризующие изучаемый объект или явление (уровни ряда у). Уровнями ряда могут быть абсолютные, относительные и средние величины.

Существуют различные виды рядов динамики. Классификация показана на рис.

Ряд Фурье

Ряд Фурье́ — представление функции с периодом в виде ряда

Этот ряд может быть также записан в виде

где

— амплитуда -го гармонического колебания,

— круговая частота гармонического колебания,

— начальная фаза -го колебания,

— -я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведет себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свертке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

Вариации и обобщения

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда, члены которого нумеруются.не одним, а двумя индексами.

Обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда, выбор которой делает понятие суммы расходящегося (в классическом смысле) ряда приемлемым. Предложено множество вариантов такого обобщения: сходимость по Пуассону — Абелю, Борелю, Чезаро, Эйлеру, Ламберту и другие

Применение рядов

ряды имеют самые разнообразные приложения

приближенные вычисления. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

Решение.

Для вычисления запишем ряд

при х = -3/5 , принадлежащем области сходимости :

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

Итак,

РЯДЫ В РОЛИ АППАРАТА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Среди различных аналитических аппаратов, могущих в этом смысле служить орудиями исследования функций, первое место по своей простоте, гибкости, прозрачности и удобству употребления, без сомнения, занимают функциональные ряды. Идея этого важнейшего аналитического аппарата очень проста: функция, которую мы хотим исследовать, представляется как предел последовательности других, более простых и доступных исследованию функций (частичных сумм изображающего ряда); если такая частичная сумма на всем рассматриваемом участке весьма близка к изучаемой функции, то мы имеем основание рассчитывать из свойств этой приближенной частичной суммы узнать, хотя бы приближенно, некоторые свойства изучаемой функции; в частности, умея приближенно вычислять, при тех или других значениях аргумента, значения этих частичных сумм, мы тем самым имеем метод для приближенного вычисления соответствующих значений изучаемой функции.

Применение рядов к решению дифференциальных уравнений

Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка

. (1)

Если его решение не выражается через элементарные функции в конечном виде или обычные способы решения слишком трудоемки, то в отдельных случаях его решение (частное или общее) удается отыскать в виде некоторого степенного ряда.

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРОГАММИРОВАНИИ

применение рядов в астрономии

Правило Ти́циуса — Бо́де (известно также как закон Бо́де) представляет собой эмпирическую формулу, приблизительно описывающую расстояния между планетами Солнечной системы и Солнцем (средние радиусы орбит). Правило было предложено Иоганном Тициусом в 1766 году и получило известность благодаря работам Иоганна Боде в 1772 году.

Правило формулируется следующим образом.

К каждому элементу последовательности прибавляется 4, затем результат делится на 10. Полученное число считается радиусом орбиты i-й планеты в астрономических единицах. То есть,

Последовательность — геометрическая прогрессия, кроме первого числа. То есть, .

Эту же формулу можно записать по-другому:

Встречается также другая формулировка:

Для любой планеты среднее расстояние от ее орбиты до орбиты самой внутренней планеты (в Солнечной системе — Меркурия) в два раза больше, чем среднее расстояние от орбиты предыдущей планеты до орбиты самой внутренней планеты:

Результаты вычислений приведены в таблице (где ). Видно, что этой закономерности соответствует и пояс астероидов, а Нептун, напротив, из закономерности выпадает, причем его место занимает Плутон, хотя он, согласно решению XXVI Ассамблеи МАС исключен из числа планет.

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лег на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера. Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса — Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что, кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (Фаэтона), которая раньше находилась на этой орбите.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• тесты по рядам , задачи с решениями по рядам ,
• Непрерывная дробь
• Признаки сходимости
• Сходящийся ряд
• Расходящаяся серия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Бесконечное выражение
• Бесконечный продукт
• Итерированная бинарная операция
• Преобразование последовательности
• Расширение ряда