Коническое сечение (коника)- три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола

Привет, Вы узнаете о том , что такое коническое сечение, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое коническое сечение, коника , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

коническое сечение , или коника , — пересечение плоскости с поверхностью кругового конуса. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Кроме того, параболу можно рассматривать как предельный случай эллипса, один из фокусов которого бесконечно удален.

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом

(в декартовой системе координат)

Здесь

— угол между образующей конуса и его осью.

Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,

• если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс,
• если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,
• если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть, все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику, которая не может быть получена как сечение конуса, но она может быть получена как сечение цилиндра — вырожденного конуса, и обычно считается «вырожденным коническим сечением»).

История

Конические сечения были известны еще математикам Древней Греции.

Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.). По-видимому он первым описал фокусы эллипса и гиперболы ^:41.

Папп Александрийский первым описал фокус параболы и вывел общее уравнение для конического сечения как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно

Менехм и ранние произведения

Считается, что первое определение конического сечения было дано Менахмом (умер в 320 г. до н.э.) как часть его решения проблемы Делиана ( Дублирование куба ). ^{[26] [27]} Его работы не сохранились, даже названия, которые он использовал для этих кривых, известны только из вторичных источников. ^[28] Определение, используемое в то время, отличается от того, что обычно используется сегодня. Конусы были построены путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов так, чтобы гипотенуза образовывала поверхность конуса (такая линия называется образующей). Три типа конусов определялись по углам их вершин (измеренным как удвоенный угол, образованный гипотенузой и катетом, вращающимся вокруг прямоугольного треугольника). Затем определялось коническое сечение путем пересечения одного из этих конусов плоскостью, перпендикулярной образующей. Тип конуса определяется типом конуса, то есть углом, образованным в вершине конуса: если угол острый, то коника является эллипсом; если угол прямой, то коника - парабола; а если угол тупой, то коника - это гипербола (но только одна ветвь кривой). ^[29]

Говорят, что Евклид (около 300 г. до н. Э.) Написал четыре книги о кониках, но и они были утеряны. ^[30] Архимед (умер около 212 г. до н. Э.), Как известно, изучал коники, определив площадь, ограниченную параболой и хордой в квадратуре параболы . Его основной интерес был связан с измерением площадей и объемов фигур, относящихся к коникам, и часть этой работы сохранилась в его книге о телах вращения коников «О коноидах и сфероидах» . ^[31]

Аполлоний Пергский

Наибольший прогресс в изучении коников древними греками был достигнут Аполлонием Пергским (умер около 190 г. до н. Э.), Чьи восьмитомные « Конические сечения» или « Коники» обобщили и значительно расширили существующие знания. ^[32] Изучение Аполлонием свойств этих кривых позволило показать, что любая плоскость, пересекающая фиксированный двойной конус (две вершины), независимо от ее угла, будет давать конус в соответствии с более ранним определением, что приводит к обычно используемому определению Cегодня. Таким образом также можно получить круги, которые нельзя построить предыдущим методом. Это может объяснить, почему Аполлоний считал окружности четвертым типом конического сечения, но это различие больше не проводится. Аполлоний использовал эллипс имен, парабола и гипербола для этих кривых, заимствуя терминологию из более ранних работ Пифагора о площадях. ^[33]

Паппу Александрийскому (умер ок. 350 г. н. Э.) Приписывают разъяснение важности концепции конического фокуса и детальное описание соответствующей концепции директрисы , включая случай параболы (которая отсутствует в известных трудах Аполлония). ^[34]

Аль-Кухи

Инструмент для рисования конических сечений был впервые описан в 1000 году исламским математиком Аль-Кухи . ^{[35] : 30 [36]}

Омар Хайям

Работа Аполлония была переведена на арабский язык, и большая часть его работ сохранилась только в арабской версии. Персы нашли приложения теории, в первую очередь персидский ^[37] математик и поэт Омар Хайям , который нашел геометрический метод решения кубических уравнений с использованием конических сечений. ^{[38] [39]}

Европа

Иоганн Кеплер расширил теорию коник с помощью « принципа непрерывности », предшественника концепции пределов. Кеплер впервые использовал термин « фокусы» в 1604 году ^[40].

Жирар Дезарг и Блез Паскаль разработали теорию коник, используя раннюю форму проективной геометрии, и это помогло придать импульс исследованию этой новой области. В частности, Паскаль открыл теорему, известную как hexagrammum mysticum, из которой можно вывести многие другие свойства коник.

Рене Декарт и Пьер Ферма применили свою недавно открытую аналитическую геометрию к изучению коник. В результате геометрические проблемы коник были сведены к задачам алгебры. Однако именно Джон Уоллис в своем трактате 1655 года Tractatus de sectionibus conicis первым определил конические сечения как примеры уравнений второй степени. ^[41] писалось ранее, но опубликована позже, Ян де Витт «s Elementa Curvarum Linearum начинается с Кеплера кинематическаяпостроение коник, а затем построение алгебраических уравнений. Эта работа, в которой используется методология Ферма и нотация Декарта, была названа первым учебником по этому вопросу. ^[42] Де Витт изобрел термин директриса . ^[42]

Эксцентриситет

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки и до прямой {\displaystyle d} отличается в раз, является коническим сечением. Точка называется фокусом конического сечения, прямая {\displaystyle d} — директрисой, число — эксцентриситетом.

В зависимости от эксцентриситета, получится:

• при — гипербола.
• при — парабола;
• при — эллипс;

Для окружности полагаю (хотя фактически при {\displaystyle e=0} ГМТ является только точка ).

Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением ^:46,47:

здесь {\displaystyle \psi } — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает . Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.

Шары Данделена

Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — шаров Данделена. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения ^:46,47.

Эллипс (синий) как коническое сечение, разделяющее шары Данделена; директрисы эллипса (Df1 и Df2), его фокусы (f1 и f2) и эксцентриситет (e)

Свойства

• Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.
• Коники обладают т.н. оптическими свойствами. Более известным и применимым является оптическое свойство эллипса: свет от источника, находящегося в одном фокусе, отражается эллиптическим зеркалом так, что лучи собираются в другом фокусе. Поскольку парабола может рассматриваться как предельный случай эллипса, она обладает аналогичным свойством: свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой так, что все отраженные лучи параллельны (то есть пересекаются в бесконечно удаленной точке). Гипербола также обладает оптическим свойством: свет от источника, находящегося в одном фокусе, отражается гиперболой так, что продолжения отраженных лучей пересекаются в другом фокусе. Из оптических свойств следует, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, перпендикулярны (то есть перпендикулярны касательные к ним в точках пересечения).
• Если рассмотреть отрезки, которые высекает коника на произвольном семействе параллельных прямых, середины всех таких отрезков окажутся лежащими на одной прямой. Эта прямая называется диаметром коники, каждому семейству параллельных секущих соответствует свой диаметр. Диаметр всегда проходит через центр коники - середину отрезка, соединяющего фокусы. В случае эллипса и гиперболы центр является точкой евклидовой плоскости, в случае параболы — бесконечно удаленной точкой того же направления, что "бесконечный" фокус, то есть, по сути, совпадает с фокусом.
• Изогональное свойство: если из точки плоскости можно провести две касательные к конике, то эти касательные являются изогоналями в угле, образованном прямыми, соединяющими точку с фокусами коники. Иными словами, если — точка на плоскости, — коника с фокусами и , — касательные , где символ обозначает направленный, или ориентированный угол. Частным случаем изогонального свойства — в случае, когда точка {\displaystyle P} лежит на конике и две касательные "сливаются" в одну — является вышеупомянутое оптическое свойство.
• Теорема Паскаля: если шестиугольник (необязательно выпуклый) вписан в конику, то точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

• Теорема Брианшона: если шестиугольник описан около коники, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку. Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля.
• Теорема Фрежье: пусть даны коника и точка на ней. Тогда все хорды коники, видные из точки под прямым углом, проходят через одну точку.
• Предыдущий факт допускает обобщение: все хорды, видимые из точки под углом, равным или , касаются некоторой коники.
• Лемма Соллертинского: пусть — произвольная точка и — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения и , где — прямая, проходящая через , есть коника, проходящая через точки и .

Теорема Паскаля для эллипса

Полярная двойственность

Зафиксируем на плоскости окружность {\displaystyle \omega }. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Любой точке {\displaystyle P} плоскости можно сопоставить ее поляру {\displaystyle p} относительно {\displaystyle \omega } — и наоборот, любой прямой можно сопоставить ее полюс. Полученное преобразование, сопоставляющее точкам прямые, а прямым точки, называется полярным соответствием и является инволюцией, образы точек и прямых при таком преобразовании называются двойственными образами. Полярное соответствие может быть определено не только относительно окружности, но и относительно любой коники — в таком случае оно будет представлять собой композицию проективного преобразования, переводящего эту конику в окружность, полярного соответствия относительно этой окружности и обратного проективного преобразования.

Двойственным образом гладкой кривой будем называть множество двойственных образов всех касательных к этой кривой. Тогда верно, что двойственным образом коники также является коника. Таким образом, некоторые утверждения, например, теоремы Паскаля и Брианшона, являются полярно двойственными друг другу.

Группы преобразований

• Эксцентриситет двух невырожденных конических сечений совпадает тогда и только тогда, когда они могут быть переведены друг в друга преобразованием подобия.
• Аффинные преобразования сохраняют только знак эксцентриситета, т.е. с точки зрения аффинной геометрии существует только три различных невырожденных конических сечения: эллипс, парабола и гипербола.
• Все невырожденные конические сечения неразличимы в проективной геометрии.

Координатное представление

Декартовы координаты

В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:

Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта

определяет тип конического сечения.

• Если дискриминант меньше нуля, то это эллипс, точка или пустое множество.
• Если дискриминант равен нулю, то это парабола, прямая или пара параллельных прямых.
• Если дискриминант больше нуля, то это гипербола или пара пересекающихся прямых

Полярные координаты

В полярных координатах , с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением

где е обозначает эксцентриситет, а l фокальный параметр.

В реальной проективной плоскости

Конические сечения имеют некоторые очень похожие свойства в евклидовой плоскости, и причины этого становятся более ясными, когда коники рассматриваются с точки зрения более крупной геометрии. Евклидова плоскость может быть вложена в реальную проективную плоскость, а коники могут рассматриваться как объекты в этой проективной геометрии. Один из способов сделать это - ввести однородные координаты и определить конику как набор точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому квадратному уравнению с тремя переменными (или, что эквивалентно, нулям неприводимой квадратичной формы ). Более технически, множество точек, которые являются нулями квадратичной формы (при любом количестве переменных), называется квадрикой, а неприводимые квадрики в двумерном проективном пространстве (т. е. с тремя переменными) традиционно называют кониками.

Евклидовой плоскости R ² встраивается в вещественной проективной плоскости , примыкающая к линии на бесконечности (и его соответствующие точки на бесконечности ) , так что все линии параллельного класса встречаются на этой линии. С другой стороны, начиная с реальной проективной плоскости, евклидова плоскость получается путем выделения некоторой прямой как линии на бесконечности и удаления ее и всех ее точек.

Пересечение в бесконечности

В проективном пространстве над любым телом, но, в частности, над вещественными или комплексными числами, все невырожденные коники эквивалентны, и поэтому в проективной геометрии просто говорят о «конике», не указывая тип. То есть существует проективное преобразование, которое отображает любую невырожденную конику на любую другую невырожденную конику. ^[44]

Три типа конических сечений снова появятся в аффинной плоскости, полученной путем выбора прямой проекционного пространства в качестве линии на бесконечности. Затем эти три типа определяются по тому, как эта бесконечно удаленная линия пересекает конику в проективном пространстве. В соответствующем аффинном пространстве получается эллипс, если коника не пересекает линию на бесконечности, парабола, если коника пересекает прямую на бесконечности в одной двойной точке, соответствующей оси, и гипербола, если коника пересекает прямую в точке бесконечность в двух точках, соответствующих асимптотам. ^[45]

Однородные координаты

В однородных координатах коническое сечение можно представить в виде:

Или в матричной записи

Матрица 3 × 3 выше называется матрицей конического сечения .

Некоторые авторы предпочитают записывать общее однородное уравнение в виде

(или его разновидность), так что матрица конического сечения имеет более простой вид:

но это обозначение не используется в данной статье. ^[46]

Если определитель матрицы конического сечения равен нулю, коническое сечение вырождено .

Поскольку умножение всех шести коэффициентов на один и тот же ненулевой скаляр дает уравнение с тем же набором нулей, можно рассматривать коники, представленные ( A , B , C , D , E , F ), как точки в пятимерной проективной проекции. Космос

Проективное определение круга

Метрические концепции евклидовой геометрии (концепции, связанные с измерением длины и углов) не могут быть немедленно распространены на реальную проективную плоскость. ^[47] Они должны быть переопределены (и обобщены) в этой новой геометрии. Это можно сделать для произвольных проективных плоскостей , но чтобы получить реальную проективную плоскость в качестве расширенной евклидовой плоскости, необходимо сделать определенный выбор. ^[48]

Зафиксируем произвольную прямую на проективной плоскости, которую мы будем называть абсолютной прямой . Выберите две различные точки на абсолютной линии и назовите их абсолютными точками . Со ссылкой на эти варианты можно определить несколько метрических концепций. Так , например, учитывая строку , содержащую точки A и B , то средняя точка отрезка линии AB определяется как точка C , которая является гармоническая четверка точки пересечения AB и абсолютной линии, по отношению к A и B .

Коника на проективной плоскости, содержащая две абсолютные точки, называется окружностью . Поскольку пять точек определяют конику, окружность (которая может быть вырожденной) определяется тремя точками. Чтобы получить расширенную евклидову плоскость, абсолютная линия выбирается как бесконечно удаленная от евклидовой плоскости, а абсолютные точки - это две особые точки на этой прямой, называемые круговыми точками на бесконечности . Линии, содержащие две точки с действительными координатами, не проходят через круглые точки на бесконечности, поэтому в евклидовой плоскости круг, согласно этому определению, определяется тремя точками, которые не лежат на одной прямой . ^{[49] : 72}

Было упомянуто, что окружности в евклидовой плоскости не могут быть определены свойством фокус-директрисы. Однако, если рассматривать линию на бесконечности как направляющую, тогда, если принять эксцентриситет равным e = 0, круг будет обладать свойством фокус-направляющей, но по-прежнему не определяется этим свойством. ^[50] В этой ситуации нужно быть осторожным, чтобы правильно использовать определение эксцентриситета как отношение расстояния от точки на окружности до фокуса (длина радиуса) к расстоянию от этой точки до направляющей (это расстояние бесконечно), что дает нулевое предельное значение.

Проективное коническое определение Штейнера

Синтетический (бескоординатный) подход к определению конических сечений в проективной плоскости был дан Якобом Штайнером в 1867 году.

• Учитывая два карандаша линий в двух точках (все строки, содержащие а также соотв.) и проективное, но не перспективное отображение из на . Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ^{[51] [52] [53] [54]}

Перспективное отображение карандаша на карандаш является взаимно однозначным соответствием (1-1 переписки) таким образом, что соответствующие линии пересекаются на фиксированную линии, которая называется осью перспективности.

Проективное отображение является конечной последовательностью перспективных отображений.

Поскольку проективное отображение в проективной плоскости над полем ( папповой плоскости ) однозначно определяется заданием изображений трех прямых ^[55] для порождения Штейнера конического сечения, помимо двух точекнеобходимо указать только изображения трех строк. Эти 5 элементов (2 точки, 3 линии) однозначно определяют коническое сечение.

Определение генерации Штейнера конического сечения

Линия коники

Согласно принципу двойственности на проективной плоскости двойственная точка каждой точки является линией, а двойственная точка множества точек (набор точек, удовлетворяющих некоторому условию) называется оболочкой прямых. Используя определение Штейнера коники (это множество точек теперь будем называть точечной коникой ) как пересечения соответствующих лучей двух связанных пучков, легко дуализировать и получить соответствующую оболочку, состоящую из стыков соответствующих точек два связанных диапазона (точки на линии) на разных основаниях (линии, на которых находятся точки). Такая оболочка называется прямой конической (или дуальной конической ).

В реальной проективной плоскости точечная коника обладает тем свойством, что каждая прямая пересекает ее в двух точках (которые могут совпадать или могут быть комплексными), и любой набор точек с этим свойством является точечной коникой. Отсюда вдвойне следует, что у прямой коники есть две прямые, проходящие через каждую точку, и любая огибающая прямых с этим свойством является прямой конической. В каждой точке точечной коники есть уникальная касательная линия, и, вдвойне, на каждой прямой конической прямой есть единственная точка, называемая точкой контакта . Важная теорема утверждает, что касательные линии точечной коники образуют прямую конику, а точки соприкосновения прямой коники образуют коническую точку. ^{[56] : 48–49}

Определение фон Штаудта

Карл Георг Христиан фон Штаудт определил конику как точку, заданную всеми абсолютными точками полярности, которая имеет абсолютные точки. Фон Штаудт ввел это определение в Geometrie der Lage (1847) как часть своей попытки удалить все метрические концепции из проективной геометрии.

Полярности , π , проективная плоскость, Р , является инволютивной (т.е. порядка два) биекции между точками и линиями Р , сохраняющее соотношением инцидентности . Таким образом, полярность относится точка Q с линией ц и, после Gergonne , д называется полярный из Q и Q полюс из ц . ^[57] абсолютная точка ( линия ) от полярности один , который падает с его полярным (полюсом).^[58]

Коника фон Штаудта в вещественной проективной плоскости эквивалентна конике Штейнера . ^[59]

Конструкции

Невозможно построить непрерывную дугу коники с помощью линейки и циркуля. Однако существует несколько построений линейки и циркуля для любого количества отдельных точек на дуге.

Один из них основан на обратной теореме Паскаля, а именно, если точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то шесть вершин лежат на конике. В частности, из пяти точек A , B , C , D , E и прямой, проходящей через E , скажем EG , \ можно построить точку F, которая лежит на этой прямой и находится на конике, определяемой этими пятью точками. Пусть AB пересекает DE в L , BC пересекает EG в M и пусть CD пересекаетLM наN. Тогдасоответствует EG в нужной точкеF. ^{[60] : 52–53} Изменяя прямую, проходящую черезE, можно построить сколько угодно дополнительных точек на конике.

Другой метод, основанный на конструкции Штейнера и полезный в инженерных приложениях, - это метод параллелограмма , при котором коника строится точка за точкой путем соединения определенных равноотстоящих точек на горизонтальной и вертикальной линиях. ^{[61] В} частности, чтобы построить эллипс с помощью уравнениях ²/а ² + y ²/б ²= 1 , сначала построим прямоугольник ABCD с вершинами A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) и D (- a , 0) . Разделите сторону BC на n равных отрезков и используйте параллельную проекцию относительно диагонали AC , чтобы сформировать равные отрезки на стороне AB (длины этих отрезков будут равныб/аумноженное на длину отрезков BC ). На стороне BC этикетке левой концы отрезков с А ₁ до А _п , начиная с B и происходит в направлении C . На стороне АВ маркировать верхние конечные точки D ₁ до D _п , начиная с А и происходит в направлении B . Точки пересечения AA _i ∩ DD _i для 1 ≤ i ≤ n будут точками эллипса между A иР (0, б ) . Маркировка связывает линии карандаша черезточку A с линиями карандаша черезточку D проективно, но не в перспективе. Искомая коника получается с помощью этой конструкции, поскольку три точки A , D и P и две касательные (вертикальные прямые вточках A и D) однозначно определяют конику. Если другой диаметр (и сопряженный к нему диаметр) используется вместо большой и малой осей эллипса, в конструкции используется параллелограмм, который не является прямоугольником, давая имя методу. Объединение линий карандашей может быть расширено, чтобы получить другие точки на эллипсе. Аналогичны конструкции для гипербол ^[62] и парабол ^[63] .

Еще один общий метод использует свойство полярности для построения касательной огибающей коники (прямой коники). ^[64]

В комплексной проективной плоскости

В комплексной плоскости C ² эллипсы и гиперболы не различимы: можно рассматривать гиперболу как эллипс с мнимой длиной оси. Например, эллипс становится гиперболой при замене геометрически сложное вращение, дающее . Таким образом, существует двухсторонняя классификация: эллипс / гипербола и парабола. Продолжение кривых до комплексной проективной плоскости соответствует пересечению бесконечно удаленной прямой в двух различных точках (соответствующих двум асимптотам) или в одной двойной точке (соответствующей оси параболы); таким образом, реальная гипербола является более убедительным реальным изображением для сложного эллипса / гиперболы, поскольку она также имеет 2 (реальных) пересечения с линией на бесконечности.

Дальнейшее объединение происходит в комплексной проективной плоскости CP ² : невырожденные коники нельзя отличить друг от друга, так как любая может быть переведена в любую другую проективным линейным преобразованием .

Можно доказать, что в CP ² два конических сечения имеют четыре общие точки (если учесть множественность ), так что имеется от 1 до 4 точек пересечения . Возможны следующие варианты пересечения: четыре различные точки, две особые точки и одна двойная точка, две двойные точки, одна особая точка и одна с кратностью 3, одна точка с кратностью 4. Если любая точка пересечения имеет кратность> 1, две кривые называются быть касательным . Если имеется точка пересечения с кратностью не менее 3, две кривые называются соприкасающимися . Если имеется только одна точка пересечения, кратность которой равна 4, две кривые называются сверхскоростными .^[65]

Кроме того, каждая прямая линия дважды пересекает каждый конический участок. Если точка пересечения двойная, линия представляет собой касательную . Каждая коническая секция, пересекающаяся с бесконечно удаленной линией, имеет две бесконечно удаленные точки. Если эти точки действительны, кривая представляет собой гиперболу ; если они воображаемые конъюгаты, это эллипс ; если есть только одна двойная точка, это парабола . Если бесконечно удаленные точки являются циклическими точками (1, i , 0) и (1, - i , 0) , коническое сечение представляет собой окружность . Если коэффициенты конического сечения действительны, бесконечно удаленные точки либо действительны, либокомплексно-сопряженный .

Вырожденные случаи

То, что следует рассматривать как вырожденный случай коники, зависит от используемого определения и геометрических параметров конического сечения. Некоторые авторы определяют конику как двумерную невырожденную квадрику. В этой терминологии нет вырожденных коник (только вырожденные квадрики), но мы будем использовать более традиционную терминологию и избегать этого определения.

В евклидовой плоскости, используя геометрическое определение, возникает вырожденный случай, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. Вырожденная коника - это либо: точка , когда плоскость пересекает конус только на вершине; прямая линия , когда плоскость является касательной к конусу (он содержит ровно один генератор конуса); или пара пересекающихся прямых (две образующие конуса). ^[66] Они соответствуют предельным формам эллипса, параболы и гиперболы соответственно.

Если коника на евклидовой плоскости определяется нулями квадратного уравнения (то есть как квадрика), то вырожденными кониками являются: пустое множество , точка или пара прямых, которые могут быть параллельны, пересекаются в точке или совпадают. Случай пустого множества может соответствовать либо паре комплексно сопряженных параллельных прямых, например, уравнениюили воображаемому эллипсу , например, с уравнениемМнимый эллипс не удовлетворяет общему определению вырождения и, следовательно, обычно не считается вырожденным. ^[67] Случай двух линий возникает, когда квадратное выражение делится на два линейных множителя, нули каждого из которых дают линию. В случае, если коэффициенты одинаковы, соответствующие прямые совпадают, и мы называем эту линию двойной линией (линия с кратностью 2), и это предыдущий случай касательной плоскости сечения.

В реальной проективной плоскости, поскольку параллельные прямые пересекаются в точке на бесконечности, случай параллельной прямой евклидовой плоскости можно рассматривать как пересекающиеся прямые. Однако, поскольку точка пересечения является вершиной конуса, сам конус вырождается в цилиндр , то есть с вершиной на бесконечности. Остальные секции в этом случае называются цилиндрическими секциями . ^[68] Невырожденные цилиндрические секции представляют собой эллипсы (или окружности).

Если смотреть с точки зрения комплексной проективной плоскости, вырожденные случаи реальной квадрики (т. Е. Квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты) можно рассматривать как пару прямых, возможно совпадающих. Пустым набором может быть линия на бесконечности, рассматриваемая как двойная линия, (действительная) точка - это пересечение двух комплексно сопряженных линий и других случаев, как упоминалось ранее.

Чтобы отличить вырожденные случаи от невырожденных случаев (включая пустое множество с последним), используя матричную запись, пусть β будет определителем матрицы 3 × 3 конического сечения, то есть β = ( AC -В ²/4) F +КРОВАТЬ - CD ² - AE ²/4; и пусть дискриминант α = B ² - 4 AC . Тогда коническое сечение невырождено тогда и только тогда, когда β ≠ 0 . Если β = 0, у нас есть точка, когда α <0 , две параллельные прямые (возможно, совпадающие), когда α = 0 , или две пересекающиеся прямые, когда α > 0 . ^[69]

Карандаш коников

(Невырожденная) коника полностью определяется пятью точками общего положения (без трех коллинеарных ) на плоскости, и система коник, которые проходят через фиксированный набор из четырех точек (опять же на плоскости, а не трех коллинеарных), называется пучок коник . ^{[70] : 64} Четыре общие точки называются базовыми точками карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит единственный конус карандаша. Это понятие обобщает пучок окружностей . ^{[71] : 127}

Пересечение двух коник

Решения системы двух уравнений второй степени с двумя переменными можно рассматривать как координаты точек пересечения двух конических сечений общего положения. В частности, две коники могут не иметь ни одной, двух или четырех возможно совпадающих точек пересечения. Эффективный метод поиска этих решений использует однородное матричное представление конических сечений , то есть симметричную матрицу 3x3, которая зависит от шести параметров.

Процедура определения точек пересечения состоит из следующих шагов, где коники представлены матрицами: ^[72]

• учитывая две коники а также рассмотрим пучок коник, заданный их линейной комбинацией
• определить однородные параметры которые соответствуют вырожденной конике пучка. Это можно сделать, поставив условие, что и решение для а также . Оказывается, это решения уравнения третьей степени.
• учитывая вырожденную конику , определите две, возможно совпадающие, линии, составляющие его.
• пересечь каждую идентифицированную линию с одной из двух исходных коник; этот шаг можно эффективно выполнить, используя двойственное коническое представление
• точки пересечения будут представлять решения исходной системы уравнений.

Обобщения

Коники могут быть определены над другими полями (то есть в других папповых геометриях ). Однако следует проявлять некоторую осторожность, когда поле имеет характеристику 2, поскольку некоторые формулы нельзя использовать. Например, используемые выше матричные представления требуют деления на 2.

Обобщением невырожденной коники на проективной плоскости является овал . Овал - это набор точек, который обладает следующими свойствами, которые поддерживаются кониками: 1) любая прямая пересекает овал ни в одной, одной или двух точках, 2) в любой точке овала существует единственная касательная линия.

Обобщение свойств фокуса коник на случай, когда имеется более двух фокусов, дает наборы, называемые обобщенными кониками .

В других областях математики

Классификация на эллиптические, параболические и гиперболические широко распространена в математике и часто делит поле на четко определенные подполя. Классификация в основном возникает из-за наличия квадратичной формы (в двух переменных это соответствует ассоциированному дискриминанту ), но также может соответствовать эксцентриситету.

Классификация квадратичных форм:

Квадратичные формы

Квадратичные формы над вещественными числами классифицируются по закону инерции Сильвестра , а именно по их положительному, нулевому и отрицательному индексам: квадратичная форма от n переменных может быть преобразована в диагональную форму , какгде число коэффициентов +1, k, является положительным индексом, количество коэффициентов −1 ,, является отрицательным индексом, а остальные переменные представляют собой нулевой индекс m, поэтому В двух переменных ненулевые квадратичные формы классифицируются как:

• - положительно-определенный (отрицательный тоже включен), соответствующий эллипсам,
• - вырожденные, соответствующие параболам, и
• - неопределенный, соответствующий гиперболам.

В двух переменных квадратичные формы классифицируются по дискриминанту, аналогично коникам, но в более высоких измерениях более полезной классификацией является определенная (все положительные или все отрицательные), вырожденные (некоторые нули) или неопределенные (сочетание положительных и отрицательных, но без нулей). Эта классификация лежит в основе многих последующих.

Кривизна

Гауссова кривизна из поверхности описывает геометрию бесконечно малого, и может в каждой точке быть либо положительным - эллиптическая геометрия , нулевой - геометрия Евклида (плоская, парабола), или отрицательными - гиперболические геометрии ; бесконечно мало, до второго порядка поверхность выглядит как график (или 0), или . В самом деле, по теореме униформизации любую поверхность можно считать глобально (в каждой точке) положительно изогнутой, плоской или отрицательно изогнутой. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана представляет собой более сложный объект, но многообразия с постоянной секционной кривизной являются интересными объектами изучения и обладают совершенно разными свойствами, как обсуждалось при секционной кривизне .

PDE второго порядка

Уравнения с частными производными (УЧП) второго порядка классифицируются в каждой точке как эллиптические, параболические или гиперболические, соответственно, поскольку их члены второго порядка соответствуют эллиптической, параболической или гиперболической квадратичной форме. Поведение и теория этих различных типов УЧП разительно различаются - характерным примером является то, что уравнение Пуассона является эллиптическим, уравнение теплопроводности - параболическим, а волновое уравнение - гиперболическим.

Классификация эксцентриситета включает:

Преобразования Мебиуса

Реальные преобразования Мебиуса (элементы PSL ₂ ( R ) или его 2-кратного покрытия, SL ₂ ( R ) ) классифицируются как эллиптические, параболические или гиперболические соответственно, поскольку их полуслед или зеркальное отображение классификации по эксцентриситету.

Отношение дисперсии к среднему

Отношение дисперсии к среднему классифицирует несколько важных семейств дискретных распределений вероятностей : постоянное распределение как круговое (эксцентриситет 0), биномиальные распределения как эллиптические, распределения Пуассона как параболические и отрицательные биномиальные распределения как гиперболические. Это разрабатывается в кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .

Приложения

Конические сечения важны в астрономии : орбиты двух массивных объектов, которые взаимодействуют согласно закону всемирного тяготения Ньютона, являются коническими сечениями, если их общий центр масс считается покоящимся. Если они связаны вместе, они оба начертят эллипсы; если они расходятся, они оба будут следовать параболам или гиперболам. См. Проблему двух тел .

Отражающие свойства конических секций используются в конструкции прожекторов, радиотелескопов и некоторых оптических телескопов. ^[43] В прожекторах в качестве отражателя используется параболическое зеркало с лампочкой в ​​фокусе; и аналогичная конструкция используется для параболического микрофона . В оптическом телескопе Herschel размером 4,2 метра на Ла-Пальме, на Канарских островах, используется первичное параболическое зеркало, чтобы отражать свет во вторичное гиперболическое зеркало, которое снова отражает его в фокус за первым зеркалом.

Траектории в поле гравитации и подобных сил

В рамках классической механики траектория движения материальной точки или жесткого сферически симметричного тела в поле силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, является одним из конических сечений — параболой, гиперболой, эллипсом (в частности кругом) или прямой. В случае, когда такая сила является силой притяжения, возможны (в зависимости от начальных условий) все эти траектории, если же это сила отталкивания, то возможны только прямые и гиперболы.

Траектория движения тела (или его центра массы в случае любого неточечного тела) в поле однородной постоянной силы в рамках классической механики - точная парабола.

Этот вывод справедлив не только для фиксированного (неподвижного) положения центра силы , но и для взаимодействия двух точечных или сферических тел сравнимой массы . Второе утверждение в рамках классической механики является точным (на практике настолько точным, насколько точно сила взаимодействия удовлетворяет закону обратных квадратов и отсутствуют другие силы). Для более чем двух взаимодействующих тел все это вообще говоря неверно (то есть орбиты могут быть точными коническими сечениями точно только в редких частных случаях - при подобранных специальных начальных условиях), однако может быть хорошим приближением в случае одного массивного центрального тела и сравнительно слабо взаимодействующих гораздо менее массивных остальных, в частности, для Солнечной системы в целом, за исключением малых небесных тел, которые иногда слишком сильно сближаются с планетами.

Физически ситуация может относится как к взаимодействию точечных (имеющих очень малый размер по сравнению с расстоянием до других тел) или сферических тел под действием сил гравитации, подчиняющихся закону всемирного тяготения (этот закон является довольно хорошим приближенным описанием реального гравитационного взаимодействия в большинстве случаев, с которыми мы сталкиваемся в пределах Солнечной системы) и/или электростатических сил, подчиняющихся закону Кулона .

Для того, чтобы траектории тел были коническими сечениями важно, чтобы соблюдались условия на количество и/или массы взаимодействующих тел, описанные выше, а также чтобы в идеале отсутствовали (практически же были пренебрежимо малыми, или, иногда, хорошо скомпенсированными) все другие силы, как например силы аэродинамического сопротивления (для этого, например, нужен достаточная разреженность среды, вакуум), потери на излучение (в случае движения электрически заряженных тел они могут быть существенны, в рамках ньютоновской гравитации такие потери всегда равны нулю, однако в реальности потери на излучение гравитационных волн могут быть заметны при взаимодействии близких массивных и быстро движущихся объектов). Кроме обычного аэродинамического сопротивления могут быть существенными такие силы, как сила давления и сила сопротивления, обусловленные солнечным ветром. При движении космических тел, как правило, эти условия выполняются по крайней мере в какой-то степени, так что коническое сечение является приемлемым, а часто и очень хорошим, приближением реальной орбиты (в течение какого-то времени).

В Солнечной системе орбиты планет — с достаточно хорошим приближением эллипсы (отклонение от точной эллиптичности больше всего у Меркурия), траектории комет — эллипсы, гиперболы^[10] нередко траектории комет «почти параболические»^[11] (см. также Небесная механика). Траектория полета пушечного ядра в гравитационном поле Земли без учета влияния воздуха — дуга эллипса близкого к параболе (поскольку скорость ядра гораздо меньше первой космической).

В небольшой (по сравнению с радиусом Земли) лаборатории гравитационное поле можно считать однородным постоянным. Если в такой лаборатории достаточно хорошо откачать воздух, то траектория камня, брошенного в ней, будет практически точной параболой (или прямой)^[12]. При обычных условиях (присутствие воздуха) траектории брошенных тел вообще говоря достаточно сильно отличаются от парабол и прямых (за исключением строго вертикального броска), однако при малых скоростях и небольших расстояниях полета могут быть довольно близки к параболе.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Квадрика
• Кривая второго порядка
• Коническая константа
• Конус
• Кубика
• Поверхность второго порядка
• Теорема Паскаля
• Теорема Брианшона
• Фигуры Лиссажу
• Конструкция Штейнера
• Циркумконический и инконический
• Директорский кружок
• Эллиптическая система координат
• Эквидистантный набор
• Девятиконечная коническая
• Параболические координаты
• Квадратичная функция

Исследование, описанное в статье про коническое сечение, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое коническое сечение, коника и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Стереометрия