Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Элементы аналитической геометрии 1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Лекция



Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про прямая в пространстве, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое прямая в пространстве, скрещивающие прямые, параллельные прямые, каноническое уравнение прямой , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Прямая, проходящая через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением в направлении вектора Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением задается либо каноническим уравнением прямой

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

либо параметрическим уравнением прямой

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением где t - параметр.

Вектор s называется вектором прямой.

Прямая линия в пространстве

Общее уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

каноническое уравнение прямой

Общее уравнение прямой совместная неопределеннная система линейных неоднородных алгебраических уравнений с рангом r = 2

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

В разделе прямая на плоскости мы дали представление о точке и прямой на плоскости. Прямую линию в пространстве следует представлять абсолютно аналогично: мысленно отмечаем две точки в пространстве и проводим с помощью линейки линию от одной точки до другой и за пределы точек в бесконечность.

Все обозначения точек, прямых и отрезков в пространстве аналогичны случаю на плоскости.

Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:

  • через две точки проходит единственная прямая;
  • если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые , параллельность прямых.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Способы задания прямой в пространстве.

Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.

Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.

Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.

Рекомендуем также ознакомиться со статьей уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.

Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.

Смотрите также статью уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.

Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.

Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Канонические уравнения прямой в пространстве - примеры задач с решением

Продолжим изучать уравнения прямой в пространстве. В этой статье рассмотрим канонические уравнения прямой в пространстве. Этот вид уравнений прямой удобен при решении многих задач, поэтому канонические уравнения прямой в пространстве заслуживают детального и всестороннего изучения.

Сначала мы выведем канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве и приведем примеры. Далее научимся определять координаты направляющего вектора прямой по известным каноническим уравнениям прямой, а также составлять канонические уравнения прямой при известном направляющем векторе и заданной точке прямой. После этого остановимся на частных случаях канонических уравнений прямой в пространстве и получим уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства. В заключении рассмотрим связь канонических уравнений прямой с другими видами уравнений этой прямой в пространстве и подробно разберем решения характерных задач.

Канонические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматривали каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением лежит на прямой а и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением коллинеарны.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - они равны разности соответствующих координат точек Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то есть, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Теперь записываем условие коллинеарности векторов Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением:
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, где λ - произвольное действительное число (при Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением точки Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением совпадают, что нас тоже устраивает).

Если Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то каждое уравнение системы Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением можно разрешить относительно параметра Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и приравнять правые части:
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Полученные уравнения вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Запись вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением очень удобна, поэтому ее используют даже когда одно или два из чисел Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением равны нулю (все три числа Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением одновременно не могут быть равными нулю, так как направляющий вектор Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением всегда ненулевой по определению). В этих случаях запись Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением считается условной (так как содержатся нули в знаменателях) и ее следует понимать как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, где Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. На этих частных случаях канонических уравнений прямой подробно остановимся в третьем пункте этой статьи (перейти к частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве).

Обратите внимание на следующие важные факты:

  • если известно, что прямая проходит как через точку пространства Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, так и через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то канонические уравнения этой прямой можно записать как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, так и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением;
  • если Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - направляющий вектор прямой, то любой из векторов Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, эта прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть определена как каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, так каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:

  • Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, здесь Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением;
  • Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, здесь Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением соответствуют прямой линии, которая проходит через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, а направляющим вектором этой прямой является вектор Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.

Покажем решения таких задач.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, где Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, а направляющий вектор прямой имеет координаты Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Решение.

Из условия имеем Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой и задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.

Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Мы уже отмечали, что одно или два из чисел Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением в канонических уравнениях прямой в пространстве вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением могут быть равны нулю. Тогда запись Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, где Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Пусть Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, тогда канонические уравнения прямых имеют вид
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
или
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
или
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz, Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением). На рисунке представлены примеры таких прямых.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

При Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением канонические уравнения прямых запишутся как
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
или
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
или
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
соответственно.

В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz, Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, очевидно, что они коллинеарны векторам Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением соответственно, где Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.

Пример.

Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz.

Решение.

Направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz являются координатные векторы Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz, они имеют вид Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением соответственно.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - канонические уравнения координатной прямой Ox, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - канонические уравнения оси ординат Oy, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением - канонические уравнения оси аппликат.

Пример.

Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и параллельна оси ординат Oy.

Решение.

Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy, то ее направляющим вектором является вектор Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением (если больше нравиться вектор Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то можно взять его). По известным координатам точек М1 и М2 можно вычислить координаты вектора Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением: Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М1 и М2), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Пример.

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Решение.

Из условия имеем Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением:
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то получаем
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением или Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.

От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением и разрешить полученные уравнения относительно переменных x, y и z:Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

При этом параметр Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением может принимать любые действительные значения (так как переменные x, y и z могут принимать какие угодно действительные значения).

Пример.

Прямая в трехмерном пространстве в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определена каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Напишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение.

Примем каждую из дробей равной λ: Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

. Разрешив первое уравнение системы относительно переменной x, второе – относительно y, третье – относительно z, получим требуемые параметрические уравнения прямой:Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.

Двойное равенство Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением по сути представляет собой систему из трех уравнений вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением (мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением мы понимаем как Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением, то

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Итак, мы получили

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Так как числа ax, ay и az одновременно не равны нулю, то ранг основной матрицы полученной системы равен двум, так как
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
а хотя бы один из определителей второго порядка
Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением
отличен от нуля.

Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Для ясности приведем подробное решение примера, на практике все проще.

Пример.

Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Решение.

Попарно приравняем дроби, составляющие канонические уравнения прямой в пространстве:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Последнее уравнение полученной системы можно исключить, так как оно верно для любых значений переменных x, y и z. Тогда Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Уравнения системы представляют собой уравнения двух пересекающихся плоскостей, причем они пересекаются по прямой, канонические уравнения которой имеют вид Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат в пространстве задана каноническими уравнениями вида Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.

Решение.

Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы), а минор второго порядка Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением. Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.

Ответ:

Элементы аналитической геометрии  1.4.1. Прямая в пространстве, каноническое уравнение прямой - примеры задач с решением

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Тебе нравиться прямая в пространстве? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое прямая в пространстве, скрещивающие прямые, параллельные прямые, каноническое уравнение прямой и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия

создано: 2014-09-20
обновлено: 2021-01-10
132651



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия