8. Электромагнитная индукция

Познакомимся с опытами, которые проводил Фарадей (рис. 8.3, 8.4).

Рис. 8.3. Опыты Фарадея

Рис. 8.4. Опыты Фарадея

Для более близкого знакомства с явлением электромагнитной индукции, подробно рассмотрим два опыта (рис. 8.5).

Рис. 8.5. ЭДС индукции возникает в катушке, когда:
1 — к нейприближается постоянный магнит; 2 — когда меняется ток в соседней катушке

На левом рисунке изображена катушка, подсоединенная к гальванометру G. Если приближать к витку постоянный магнит, стрелка гальванометра отклонится: по катушке пройдет ток. При неподвижном же магните ничего не происходит. На правом рисунке вблизи такой же катушки с гальванометром помещена другая катушка. Если замкнуть ключ К, то по верхней катушке пойдет электрический ток. В этот момент стрелка гальванометра отклонится, зарегистрировав импульс тока в нижней катушке. То же самое произойдет при размыкании ключа К.

см. катушек Гельмгольца.

В обоих случаях виток с гальванометром не был подсоединен к источнику тока. Тем не менее, ток в нем появился, что свидетельствует о возникновении какой-то электродвижущей силы. Ее называют ЭДС электромагнитной индукции. Рассмотренные опыты приводят к выводу, что ЭДС индукции возникает, когда что-то меняетсяв системе проводников.

Обратимся к одному из возможных вариантов изменений в системе — перемещению одного из ее проводников. Поскольку на проводник с током действует сила, то при перемещении этого проводника будет совершаться работа. Рассмотрим устройство на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

К рисунку 8.6: возникновение индукционного тока при движении небольшого участка замкнутого проводящего контура в магнитном поле.

Пусть отрезок проводника с током длиной перемещается из положения 1 в положение 2 под действием силы Ампера в магнитном поле

Работа, совершаемая полем по перемещению проводника на расстояние , равна

Произведение есть элемент площади, которую пересек отрезок проводника при своем движении из положения 1 в положение 2. Таким образом,

где — изменение потока вектора магнитной индукции через площадь, охватываемую током.

Применим теперь к рассмотренной системе закон сохранения энергии. Пусть — изменение магнитного потока при небольшом перемещении проводника за время . Совершенная работа равна . За счет какого источника совершается эта работа? В окружающем пространстве ничего не изменилось. Единственная доступная энергия черпается из источника тока. Если его ЭДС равна то за время источник израсходует энергию . Эта энергия тратится на выделение тепла на сопротивлении R и на работу по перемещению проводника

Разделив обе части на и перенося слагаемое с потоком в левую часть равенства, получаем

В этом уравнении нетрудно узнать закон Ома: в правой части стоит падение напряжения на сопротивлении, а в левой должна стоять сумма всех действующих в цепи ЭДС. Поэтому уравнение можно переписать в виде

где

Это соотношение есть математическая запись закона электромагнитной индукции Фарадея (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Магнитный поток через замкнутый контур

В чем же физическая причина возникновения ЭДС индукции в данном случае? Рассмотрим почти такую же систему, но без источника тока и без замкнутой цепи. Пусть отрезок проводника длиной l движется со скоростью v перпендикулярно вектору магнитной индукции В (рис. 8.8).

Рис. 8.8. Возникновение на концах проводника, движущегося в магнитном поле,
разности потенциалов, равной ЭДС электромагнитной индукции

Магнитное поле однородно и линии магнитной индукции перпендикулярны чертежу и направлены от нас. На свободные электроны в проводнике действует сила Лоренца (направление которой определяется правилом буравчика)

где е — заряд электрона. Под влиянием силы Лоренца произойдет перемещение зарядов и на концах проводника возникнет некоторая разность потенциалов . Возникшее электрическое поле Е будет препятствовать передвижению зарядов, и их дальнейшее движение прекратится, когда сила со стороны индуцированного электрического поля будет равна по величине, но противоположна по направлению силе Лоренца .

Таким образом, получаем

откуда

Так как , то

Скорость проводника равна , а произведение есть площадь поверхности, заметаемая проводником за время . Получаем, следовательно,

Мы пришли к тому же результату, так как разность потенциалов на концах разомкнутого проводника равняется ЭДС индукции. (Напомним, что и для обычного источника тока разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи равна ЭДС.) Поскольку сила Лоренца, действующая на отрицательно заряженные электроны, направлена на рис. 8.3 вниз, на нижнем конце проводника скапливается избыток отрицательного заряда, а на верхнем — положительного. Следовательно, потенциал верхнего конца выше потенциала нижнего. Впрочем, о знаке ЭДС индукции мы поговорим особо.

Напомним, что ранее мы рассмотрели пример (п. 6.7), в котором речь шла о самолете, летящем в вертикальном магнитном поле. Нетрудно заметить, что проблема в том примере идентична только что рассмотренной задаче о движении проводника. И из преобразований Лоренца мы получили тогда в точности те же результаты, что и сейчас: сравните формулы (8.10) и (6.43). Таким образом, и закон сохранения энергии, и уравнение динамики заряда в магнитном поле, и даже релятивистские преобразования Лоренца для электромагнитного поля приводят к тому же закону Фарадея — в физике (как и вообще в мире) все взаимосвязано.

Выражение (8.8) для ЭДС электромагнитной индукции имеет очень общий вид: в него не вошли никакие конкретные характеристики движения: скорость проводника, его длина и т. п. Все определяется только скоростью изменения потока вектора магнитной индукции. При этом совершенно неважно, каким путем мы изменяем этот поток. Можно деформировать виток, перемещать его или просто увеличивать магнитную индукцию (рис 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13). Именно последний вариант реализовался в опытах, которые мы обсуждали в начале этой главы. Механизм возникновения ЭДС индукции может бытьразным, но конечный результат будет описываться тем же уравнением (8.8), которое носит название закона Фарадея.

Рис. 8.9. Закон Фарадея

Рис. 8.10. Возникновение тока в контуре при перемещении провода в постоянном магнитном поле

Рис. 8.11. Возникновение тока в контуре при подключении батареи

Рис. 8.12. Яркое вспыхивание лампочки при размыкании ключа

Рис. 8.13. Возникновение переменного тока при вращении контура

Пример 1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения 16 .

Решение. За время стержень повернется на угол и заметет сектор площадью

Разность потенциалов равна скорости изменения потока магнитной индукции

Закон Фарадея применим не только к отдельному контуру или витку, но и к катушке, которую можно рассматривать как N витков, соединенных последовательно. В этом случае суммарная ЭДС будет в N раз больше, чем ЭДС отдельного витка, то есть

где величина

называется потокосцеплением или полным магнитным потоком ( измеряется в тех же единицах, что и , то есть в веберах).

Пример 2. Магнитная индукция поля между полюсами магнита генератора равна 0,8 Тл. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Ротор имеет 100 витков площадью 400 см². Определить частоту вращения якоря, если максимальная ЭДС индукции равна = 200 В (рис. 8.14).

Рис. 8.14. Вращение контура в постоянном магнитном поле

Решение. Угол между магнитным полем и нормалью к плоскости витков изменяется по закону . Полный магнитный поток через обмотку ротора в момент времени t равен . Дифференцируямагнитный поток по времени, получаем

Максимальное значение синуса равно единице, следовательно, максимальное значение ЭДС индукции равно

откуда

ЭДС индукции возникает не только при перемещении замкнутого контура в магнитном поле или перемещении магнита относительно неподвижного контура. Пусть имеются две катушки с общим железным сердечником, служащим в качестве магнитопровода (рис. 8.15).

Рис. 8.15. Железный сердечник как магнитопровод между двумя катушками

При разомкнутой цепи магнитный поток в системе равен нулю. При замыкании ключа К через катушку 1 пойдет ток, который создаст магнитное поле, так что катушка 2 будет пронизываться магнитным потоком . Поэтому при замыкании ключа за время нарастания тока до стационарного значения поток через катушку 2, меняется на величину . Соответственно, в ней возникает ЭДС

где N — число витков в катушке 2, и идет индукционный ток, который зарегистрирует гальванометр G.

Когда возрастание тока в катушке 1 прекратится, поток магнитной индукции станет постоянным и ЭДС будет равна нулю. Ток в катушке 2 также перестанет идти, и стрелка гальванометра вернется в исходное положение. Такая же картина будет наблюдаться и при размыкании цепи катушки 1, только стрелка гальванометра отклонится в другую сторону, что свидетельствует об изменении направления тока в катушке 2.

Если через катушку 1 пропустить переменный ток, то по цепи катушки 2 пойдет переменный ток той же частоты. Этот принцип широко используется в трансформаторной технике.

Пусть контур имеет сопротивление R и пусть магнитный поток через него меняется по какому-то закону. Возникающая в контуре ЭДС электромагнитной индукции

вызывает в контуре ток

Заряд , протекший в контуре за время , связан с током

Интегрируя, получаем для заряда Q, протекшего по контуру при изменении потока следующее выражение

(мы используем модуль изменения потока, так как направление перетекания заряда нам сейчас не важно). Отсюда, кстати, вытекает связь единицы измерения магнитного потока с зарядом и сопротивлением

Пример 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 3 Ом.