Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Дилогарифм - функция, значение , график кратко

Лекция



Привет, сегодня поговорим про дилогарифм, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое дилогарифм , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

дилогарифм — специальная функция в математике, которая обозначается Дилогарифм - функция, значение , график и является частным случаем (n=2) полилогарифма Дилогарифм - функция, значение , график. Дилогарифм определяется как

Дилогарифм - функция, значение , график

. В последние годы в самых разных задачах теории чисел, алгебры, топологии, геометрии мистическим образом появляется дилогарифм Дилогарифм - функция, значение , графикДилогарифм - функция, значение , график.

Вычисление дилогарифма по его разложению в ряд (х = РХ)Дилогарифм - функция, значение , график

Приведенное определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до Дилогарифм - функция, значение , график. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Дилогарифм - функция, значение , график

Функцию Дилогарифм - функция, значение , график часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году . Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function), в честь шотландского математикаУильяма Спенса (William Spence, 1777—1815) , который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие Дилогарифм - функция, значение , график и Дилогарифм - функция, значение , график. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.


Дилогарифм - функция, значение , график

Действительная и мнимая части функции Дилогарифм - функция, значение , график

Классический дилогарифм

Дилогарифм - функция, значение , график
Классические значения дилогарифма на действительной оси. (Мнимая часть там тождественно равна нулю.)
полилогарифм

Классический дилогарифм для комплексных чисел Дилогарифм - функция, значение , график С Дилогарифм - функция, значение , графикопределяется степенным рядом

Дилогарифм - функция, значение , график.

Это может быть аналитическим продолжением наДилогарифм - функция, значение , график Продолжать:

Дилогарифм - функция, значение , график

(Здесь, по тропинке в Дилогарифм - функция, значение , график интегрироваться.)

Дилогарифм Блоха-Вигнера

Дилогарифм Блоха-Вигнера предназначен для Дилогарифм - функция, значение , график определяется

Дилогарифм - функция, значение , график.

Он четко выражен и устойчив даже в Дилогарифм - функция, значение , график.

Он аналитик в Дилогарифм - функция, значение , график, в 0 и 1 имеет особенности типа Дилогарифм - функция, значение , график.

Дилогарифм Роджерса

Дилогарифм Роджерса определяется

Дилогарифм - функция, значение , график

Для Дилогарифм - функция, значение , график.

Другое распространенное определение:

Дилогарифм - функция, значение , график.

Это зависит от первого через

Дилогарифм - функция, значение , график

все вместе.

Можно Дилогарифм - функция, значение , график (прерывистый) полностью Дилогарифм - функция, значение , график продолжить через Дилогарифм - функция, значение , график и

Дилогарифм - функция, значение , график

Эллиптический дилогарифм

Быть Дилогарифм - функция, значение , график один больше Дилогарифм - функция, значение , графикзаданная эллиптическая кривая . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Используя функцию Вейерштрассе , ее можно вычислить с помощью сеткиДилогарифм - функция, значение , график параметризовать через

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график мод Дилогарифм - функция, значение , график.

Эллиптический дилогарифм Дилогарифм - функция, значение , график тогда определяется как

Дилогарифм - функция, значение , график,

в котором Дилогарифм - функция, значение , график обозначает дилогарифм Блоха-Вигнера.

Эллиптический дилогарифм верен, за исключением рациональных кратных Дилогарифм - функция, значение , график со значением Дилогарифм - функция, значение , графиксовпадает с функцией L .

Функциональные соотношения

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Для действительных Дилогарифм - функция, значение , график,

Дилогарифм - функция, значение , график

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

Дилогарифм - функция, значение , график

Частные значения


\operatorname{Li}_2(0)=0


\operatorname{Li}_2(1)= {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2


\operatorname{Li}_2(-1) = - {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2


\operatorname{Li}_2({\textstyle{\frac12}})={\textstyle{\frac{1}{12}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{2}

Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем


\operatorname{Li}_2(2) =  {\textstyle{\frac{1}{4}}} \pi^2 - {\rm i} \pi \ln{2}

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением Дилогарифм - функция, значение , график,

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

а также для дилогарифма мнимого аргумента,


\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) =  - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G

где G — постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Дилогарифм - функция, значение , график

Функции, связанные с дилогарифмом

  • Функция Клаузена Дилогарифм - функция, значение , график

Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,

Дилогарифм - функция, значение , график

Таким образом,

\operatorname{Cl}_2(\theta)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)-\operatorname{Li}_2\left(e^{-{\rm i}\theta}\right)\right]

  • Функция Лобачевского

Эта функция используется при вычислении объемов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),

Дилогарифм - функция, значение , график

Иногда используется другое определение функции Лобачевского,

Дилогарифм - функция, значение , график

  • Интегральный арктангенс Дилогарифм - функция, значение , график

Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,

Дилогарифм - функция, значение , график

Таким образом,

\operatorname{Ti}_2(y)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)-\operatorname{Li}_2(-{\rm i}y)\right]

  • Функция Лежандра Дилогарифм - функция, значение , график

Эта функция выражается через дилогарифмы как

Дилогарифм - функция, значение , график

В частности, Дилогарифм - функция, значение , график.

Применение дилогарифма

описание физики часчтиц

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

На этом все! Теперь вы знаете все про дилогарифм, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое дилогарифм и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про дилогарифм
создано: 2014-10-25
обновлено: 2021-04-07
132644



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)

Термины: Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)