Алгоритмы быстрого преобразования Фурье FFT (fast Fourier transform). Принцип построения и применения

Привет, сегодня поговорим про быстрое преобразование фурье, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое быстрое преобразование фурье, fft, fast fourier transform , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка сигналов.

быстрое преобразование фурье (БПФ, FFT) – это алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Этот алгоритм значительно сокращает количество действий, необходимых для вычисления дискретного преобразования Фурье по соответствующей формуле.

Не углубляясь в математические подробности, можно сказать, что с помощью различных синусоид можно получить случайный сигнал, который не является периодическим.

Фурье позволяет раскладывать случайный сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период.

На сегодняшний день Быстрое Преобразование Фурье является основным инструментом спектрального анализа сигналов.

Принцип построения алогоритмов БПФ

.

(1)

ДПФ отсчетам сигнала (в общем случае комплексным) ставит в соответствие комплексных отсчетов спектра , причем для вычисления одного спектрального отсчета требуется операций комплексного умножения и сложения. Таким образом вычислительная сложность алгоритма ДПФ составляет комплексных умножений и сложений. При этом можно заметить что если одно ДПФ на точек (отсчетов) заменить вычислением двух ДПФ по точек, то это приведет к уменьшению количества операций в 2 раза. Замена-точечного ДПФ двумя -точечными представлено на рисунке 1.

Рисунок 1: Замена N-точечного ДПФ двумя N/2-точечными ДПФ

При этом каждое из – точечных ДПФ также можно вычислить путем замены -точечного ДПФ на два-точечных. В этом случае количество вычислительных операций равно . Таким образом можно продолжать разбиение исходной последовательности до тех пор пока возможно деление последовательности на две. Очевидно что если , – положительное целое, мы можем разделить последовательность пополам раз. Для () такое разбиение представлено на рисунке 2.

Рисунок 2: Разбиение и объединение последовательностей при N = 8

Алгоритмы БПФ, которые используют выборки длиной называются «алгоритмами БПФ по основанию 2». Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Данные алгоритмы получили наибольшее распространение, из-за того что в машинной арифметике является «круглым» числом. Далее мы будем рассматривать только алгоритмы по основанию 2.

Очевидно что делить последовательности на две можно по-разному, однако от этого зависит сможем ли мы при объединении получить неискаженный спектр сигнала и чего с точки зрения вычислительных затрат это будет нам стоить. Можно сказать, что эффективность алгоритма БПФ полностью зависит от способа разбиения и объединения последовательности, поскольку если не учитывать операции на разбиение-объединение, то для расчета спектра требуется раз посчитать ДПФ на 2 точки, в результате общее количество вычислительных операций составит, то есть количество операций линейно зависит от величины выборки.

,

(2)

которое ставит в соответствие комплексным отсчетам спектра , комплексных значений сигнала , .

Обратное быстрое преобразование Фурье

.

(3)

Другими словами комплексные экспоненты в выражении для прямого и обратного ДПФ являются комплексно-сопряженными (черта сверху означает комплексное сопряжение). Теперь рассмотрим два комплексных числа и .

Рассмотрим произведение на комплексно-сопряженное :

.

(4)

Теперь рассмотрим произведение комплексно-сопряженного на :

.

(5)

.

(6)

(7)

Таким образом берется комплексно-сопряженный спектр выполняется прямое ДПФ и результат подвергается комплексному сопряжению. Вычисление ОДПФ при использовании ДПФ приведено рисунке 3.

Рисунок 3: Вычисление обратного ДПФ через прямое

Быстрое Преобразование Фурье и его применение

Применение Быстрого Преобразования Фурье позволяет виброакустическим анализаторам сигналов SignalCalc компании Data Physics обеспечивать всеобъемлющий диапазон опций для быстрых, точных и простых в использовании измерений, как во временной, так и в частотной области. Базовое программное обеспечение предлагает целый комплексный набор измерений, включающий в себя сбор данных во временной области, анализ переходных процессов, спектров сигналов, автоспектр мощности, измерение амплитуды спектра, синхронное осреднение, вычисление плотности спектра мощности, вычисление передаточной функции, когерентность, различные виды графиков с переменной об/мин, корреляцию, гистограмму, график распределения вероятностей и плотности вероятности.

Автоспектр мощности

Автоспектр мощности является наиболее широко примеряемым типом отображения данных, который предпочитают пользователи SignalCalc. В режиме реального времени пользователи могут просматривать историю измерений, последние спектральные графики сигналов, последние автоспектры мощности, в том числе и усредненные. Нужный тип и количество графиков может отображаться одновременно, показывая актуальные данные. Этот тип отображения данных поддерживает использование оконных (весовых) функций Хэннинга, Ханна, Прямоугольные, с плоской вершиной, которые служат для минимизации спектральных утечек.

Передаточная функция

Измерения передаточной функции, также известной как Амплитудно-Фазовая Частотная Характеристика (АФЧХ), помимо вышеуказанных возможностей, обеспечивают спектральные измерения между всеми каналами сигналов и указанным опорным каналом.

Интересной особенностью анализаторов сигналов SignalCalc является то, что имеется возможность оценки передаточной функции Hxy, чувствительной к шуму на входном канале, и H2yx, чувствительной к шуму на выходном канале.

Также доступны анализ когерентности и измерение импульсных функций, что делает семейство анализаторов SignalCalc комплексным решением для модального анализа.

Вычисление передаточной функции подразумевает выбор весовых функций для сигналов силы и отклика, в дополнение к весовым функциям, представленным в Автоспектре мощности. Измеренные передаточные функции могут быть напрямую экспортированы в различные виды пакетных программ для модального анализа и прочностных расчетов, в различных требуемых форматах.

Синхронное усреднение.

Синхронное усреднение является дополнением Автоспектра мощности, позволяющим усреднить данные с временных диаграмм и линейных спектров, на всех каналах. Для обеспечения этой возможности доступны разнообразные триггерные установки: для входного канала, для внешнего положительного и отрицательного сигнала и для сигнала с канала тахометра. Эти триггеры позволяют удалить асинхронную (случайную) составляющую сигналов из временной или частотной области, таким образом, учитывая только синхронные составляющие сигналов. Эта опция наиболее часто употребляется при анализе вращающихся машин и механизмов, где настройки триггеров по тахометру позволяют анализировать интересующие сигналы без помех.

Главной отличительной особенностью этого измерения является способность производить анализ усредненного автоспектра мощности одновременно для всех каналов, вместе с осреднением спектров всех входных сигналов.

Корреляция

Кросс-корреляционный анализ используется для определения степени сходства двух сигналов и определения направления, в котором распространяются случайные изменения. Автокорреляционный анализ используется, чтобы выяснить, есть ли в случайном сигнале какая-либо периодичность.

Метод линейной корреляции используется для сравнения случайных или переходных сигналов, в то время как метод циклической корреляции применяется, когда сравниваются периодические сигналы. Программное обеспечение Data Physics SignalCalc позволяет вычислять нормализованные коэффициенты корреляции (безразмерные коэффициенты с диапазоном +-1), которые облегчают понимание различных результатов корреляции.

Пользователь имеет возможность удалить среднее значение до корреляции. Это является особенно необходимой и полезной функцией в случае, когда сравниваемые сигналы содержат большую постоянную составляющую.

При проведении анализа, зачастую пользователь сталкивается с различными ситуациями. Например, если два сигнала с большими амплитудами содержат периодические компоненты в высокочастотной области, а на низких частотах сигналы являются случайными, то результаты корреляции будут неоднозначными и пользователю будет очень сложно в них разобраться. Именно поэтому анализаторы сигналов SignalCalc имеют огромное количество настраиваемых фильтров низких частот, высоких частот, задаваемых пользователем диапазонов частот, в которых данные могут либо учитываться, либо не учитываться. Эти фильтры позволяют получить нужные результаты при различного рода исследованиях. Также пользователи сами могут сформировать неограниченное число своих собственных фильтров, используя для этого простой и понятный интерфейс программы.

Гистограмма

Анализаторы сигналов SignalCalc оснащены мощным набором статистических измерений, включающим в себя Гистограмму, Плотность вероятности и графики распределения вероятности.

Эта функция часто используется при климатических виброиспытаниях. График Гауссова распределения, показывающий логарифм плотности вероятности в зависимости от значения сигмы в квадрате, является особенно наглядным методом оценки эффективности коэффициента амплитуды (отношение максимального значения к среднеквадратичному) при проведении виброиспытаний.

Высокое разрешение и зум в реальном времени

Анализаторы сигналов SignalCalc обладают очень полезной способностью. При выполнении анализа пользователь может выделить интересующий его участок. При этом количество линий разрешения не изменится. Таким образом, мы получаем высокое разрешение на узком диапазоне частот. Это позволяет пользователю увидеть те составляющие сигнала, которые обычный анализ увидеть не позволил бы.

Зум позволяет различить 2 близко расположенных пика сигнала в узком промежутке частот, повысить возможности когерентности или точно определить частоты синусоид. Пользователи указывают центральную точку (частоту) и ширину интересующей полосы. Так как центральная точка может быть задана с высокой точностью, это является отличным способом при измерении параметров в нужных частотах, при этом интересующая частота попадает точно на разрешающую линию.

Для измерений, где пользователю просто необходимо высокое разрешение, анализаторы SignalCalc обеспечивают до 25600 разрешающих линий.

Калибровка датчиков

Анализаторы SignalCalc с помощью специальной команды выполняют измерения чувствительности датчиков, автоматически передавая результаты в текущие настройки Test Setup, производя калибровку относительно известного входа на датчик. Данные калибровки, измеренные один раз, доступны для будущих тестов, пока не наступит необходимость в повторной калибровке.

При калибровке также формируется текстовый файл, в который уже внесена информация по входному воздействию калибратора, информация по датчику, измеренные частоты калибровки и чувствительность. Это позволяет инженерам-испытателям использовать анализаторы в соответствие с требованиями по ISO и другими сертификационными требованиями.

Выводы

Надеюсь, эта статья про быстрое преобразование фурье, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое быстрое преобразование фурье, fft, fast fourier transform и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка сигналов