Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про эллипс, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое эллипс, канонические уравнения эллипса , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
эллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.
Одной из трех составляющих «Триады Менехма» является Эллипс.
Ее открыл в IV веке до н. э. древнегреческий математик Менехм, пересекая разного вида конусы (остроугольный, прямоугольный и тупоугольный)
плоскостью, перпендикулярной образующей. В итоге ему удалось свести решение задачи об удвоении куба к нахождению точек пересечения двух
парабол. Более столетия конические сечения не имели собственных названий (указывали лишь способ получения кривых, например, эллипс —
«сечение остроугольного конуса»).
Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.
Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.
Сферы Данделина можно использовать для элегантных современных доказательств двух классических теорем, известных Аполлонию Пергскому . Первая теорема состоит в том, что замкнутое коническое сечение (т.е. эллипс ) - это геометрическое место точек, такое что сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Вторая теорема заключается в том, что для любого конического сечения расстояние от фиксированной точки (фокуса) пропорционально расстоянию от фиксированной линии ( директрисы ), а коэффициент пропорциональности называется эксцентриситетом .
Коническое сечение имеет по одной сфере Данделина для каждого фокуса. Эллипс состоит из двух сфер Данделина, соприкасающихся с одной и той же вершиной конуса, в то время как у гиперболы две сферы Данделина касаются противоположных вершин. Парабола имеет только один шары данделена.
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.
Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек
и
(называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть
, причем
.
Эллипс также можно определить как:
Рис. 5
- каноническое уравнение эллипса (рис. 5),
- большая полуось,
- малая полуось,
- левый и правый фокусы,
- эксцентриситет,
- левая и правая директрисы,
- левый и правый фокальные радиусы точки
,
- расстояния от точки P до левой и правой директрисы.
Максимальная погрешность этой формулы 
при эксцентриситете эллипса 
(соотношение осей 
). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Погрешность всегда положительна.
Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула: 
, где 
Максимальная погрешность этой формулы 
при эксцентриситете эллипса 
(соотношение осей {\displaystyle \approx 1/5}
) Погрешность также всегда положительна.
Существенно лучшую точность при 
обеспечивает формула Рамануджана: 
При эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) погрешность составляет 
. Погрешность всегда отрицательна.
Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана: 
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
Альтернативная формула
где 
— Арифметико-геометрическое среднее 1 и 
, а 
— модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.
Площадь эллипса вычисляется по формуле
Площадь сегмента между дугой[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки 
и 
, можно определить по формуле :
Если эллипс задан уравнением 
, то площадь можно определить по формуле
и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой 
равен углу между этой касательной и прямой 
.
характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
), то эллипс вырождается в окружность.
— выпуклая фигура и 
— вписанный в 
-угольник максимальной площади, то
где 
обозначает площадь фигуры .
ограничено эллипсом.
, принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:
с помощью Эллипса сделали революционное открытие в астрономии
В XVI веке математик и астроном древности Кеплер доказал, что каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце
вычисление хода отражения
движенее материальной точки по эллиптической кривой
Тебе нравиться эллипс? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое эллипс, канонические уравнения эллипса и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про эллипс
Комментарии
Оставить комментарий
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия