Лекция
Привет, сегодня поговорим про теория игр, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое теория игр, методы теории игр в исследовании операций, матричные игры , граница игры, принцип минимакса, минмакс , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний..
методы теории игр в исследовании операций .
При решении задач ИО приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются не менее двух сторон с различными целями и интересами. Результат мероприятия каждой из сторон в такой ситуации зависит от того, какой образ действия выберет противная сторона. Такие ситуации называются конфликтными ситуациями. Конфликт не обязательно предполагает антагонистические противоречия сторон, но всегда связан с разногласиями.
Конфликтная ситуация характеризуется следующими чертами:
1) наличие нескольких заинтересованных сторон (потребители, компании страны, индивидуумы, военные подразделения)
2) существование возможных действий каждой из сторон
3) наличие интересов сторон (повышение доходов, вытеснение конкурентов с рынка и т.д.)
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Раздел исследования операций, занимающийся математическими моделями принятия оптимальных решений в условиях конфликта, называется теорией игр. Игра есть математическая модель реальной конфликтной ситуации, анализ которой ведется по определенным правилам.
теория игр – это раздел математики, изучающий математические модели принятия решений в конфликтных ситуациях.
Теория игр опирается на предположение о том, что независимо от цели игры и ее обстоятельств найдется стратегия, которая позволит добиться успеха. это всегда происходит по определенным правилам, но иногда их трудно распознать
2. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.
Единой классификации игр не существует, поэтому игры классифицируются по различным признакам и критериям
Заинтересованные стороны игры (в частности лица) называются игроками. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Игры различаются по числу игроков. Говорят, что имеет место игра N лиц, если игроки распадаются на N непересекающихся множеств таким образом, что игроки, входящие в каждое множество, имеют одинаковые интересы. Такая игра называется множественной. Если N=2, то игра называется парной. Во множественной игре участники могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Множественная игра с двумя постоянными коалициями является парной. Далее мы рассматриваем только парные игры.
Чтобы подвергнуть игру математическому анализу должны быть сформированы правила игры, то есть система, регламентирующая:
- возможные варианты действий игроков;
- объем информации каждой стороны о поведении другой;
- результат (исход) игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.
Этот результат (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно выразить его числом (шахматы).
Игра называется игрой с нулевой сумой, если сумма выигрышей всех игроков равна нулю (то есть каждый игрок выигрывает за счет других). Парная игра с нулевой суммой называется игрой со строгим соперничеством или антагонистической. Примерами игр с ненулевой суммой являются лотереи, тотализаторы, карточные игры с «банкиром».
Пусть имеется парная игра с нулевой суммой U в которой участвуют два игрока А и В. Обычно для удобства сторону А называют «мы», а сторону В- «противник».
Развитие игры во времени есть ряд последовательных действий или ходов. Ход – это выбор одного из предусмотренных правилами действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов и его осуществление. Случайный ход – это выбор, осуществляемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (жребием). Некоторые игры состоят только из случайных ходов, они называются азартными и не рассматриваются в теории игр. Некоторые игры состоят только из личных ходов (шашки, шахматы). Большинство карточных игр содержит и те и другие виды ходов. Теория игр анализирует игры с личными ходами.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока, в зависимости от ситуации, сложившейся в ходе игры.
Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, в противном случае игра называется бесконечной.
Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что эквивалентно, минимальный средний проигрыш). Выбор оптимальной стратегии основывается на принципе равной разумности, предполагающем, что оба игрока разумны в одинаковой степени и поведение каждого направлено на то, чтобы помешать противнику достичь его цели.
Таким образом, теория игр не учитывает ошибки и просчеты игроков, а также элементы азарта и риска.
Если каждый игрок выбирает некоторую стратегию однозначно с вероятностью 1, то говорят, что он пользуется чистой стратегией. Предположим, что нам известны значения (Ai,Bj) для каждой пары стратегий. Эти значения можно записать в виде матрицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока Ai, а столбцы – стратегиям игрока Bj.
Эта матрица называется платежной матрицей, матрицей выигрышей или матрицей игры.
Найдем min aij=
(минимумы строк). Выбирая стратегию Аi, игрок А должен рассчитывать на то, что в результате действий противника он выиграет только . Естественно, действуя наиболее осторожно (то есть избегая всякого риска), нужно предпочесть другим ту стратегию, для которой максимально, то есть:
Величина 
называется нижней ценой игры, иначе максимальным выигрышем или максимином.
Нижняя цена игры это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Это гарантированный минимум, который может обеспечить себе А, придерживаясь самой осторожной стратегии. Стратегия игрока А, соответствующая максимуму называется максиминной стратегией. Это стратегия, основанная на основном принципе теории игр – принципе осторожности основана на принципе минимакса: поступать надо так, чтобы при наихудшем поведении противника получить максимальный выигрыш.
Если выбрать по каждому столбцу 
и найти 
, мы получим верхнюю цену игры 
- гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А. - называется также минимаксом или минимаксным проигрышем. Соответствующая стратегия называется минимаксной.
Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий (максиминной и минимаксной) является основным в теории игр и называется принципом минимакса.
Можно показать, что для нижней и верхней цены игры всегда справедливо неравенство:
или
Существуют игры, для которых нижняя цена равна верхней, то есть =. . Такие игры называются играми с седловой точкой.
Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой седловой точкой, а стратегии i* и j*, позволяющие достичь этого значения – оптимальными чистыми стратегиями. Пара оптимальных чистых стратегий (i*,j*) называется седловой точкой матрицы, так как элемент ai*j*= 
является одновременно минимальным в i-й строке и максимальным в j-м столбце. Оптимальные стратегии и чистая цена игры являются ее решением. Про саму игру говорят, что она решается в чистых стратегиях.
Критерием существования цены игры в чистых стратегиях является следующая теорема:
Для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, то есть для того, чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существования у этой игры седловой точки.
Седловой точкой игры (матрицы A) является пара чисел (i*,j*) таких, что ai*j* в одно и то же время является максимумом своей строки и минимумом своего столбца.
Для игры с седловой точкой существует свойство равновесия (или устойчивости): каждый из игроков не заинтересован в отходе от оптимальной стратегии, так как его выигрыш уменьшится.
Признак наличия седловой точки и равновесной пары стратегий – равенство верхней и нижней цены игры. Наличие седловой точки в игре - далеко не правило, а скорее исключение. Но есть игры, которые всегда имеют седловую точку. Это так называемые игры с полной информацией. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов как личных, так и случайных. (шашки, шахматы, крестики-нолики)
Можно доказать, что каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и решается в чистых стратегиях.
Надеюсь, эта статья об увлекательном мире теория игр, была вам интересна и не так сложна для восприятия как могло показаться. Желаю вам бесконечной удачи в ваших начинаниях, будьте свободными от ограничений восприятия и позвольте себе делать больше активности в изученном направлени . Надеюсь, что теперь ты понял что такое теория игр, методы теории игр в исследовании операций, матричные игры , граница игры, принцип минимакса, минмакс и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний.
Комментарии
Оставить комментарий
Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний.
Термины: Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний.